Equazione di Laplace sulla corona circolare
Ciao a tutti, devo risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di dirichlet per l'equazione di Laplace sulla corona circolare (in coordinate polari):
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{\partial^{2}u}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0 & \rho \epsilon (1,2) \theta \epsilon [0,2\pi] \\
u(1,\theta)=1 & per \theta \epsilon [0,2\pi] \\
u(2,\theta)=3 & per \theta \epsilon [0,2\pi] \\
\end{cases}\)
Procedo così:
1) Cerco soluzioni a variabili separate del tipo: \(\displaystyle U(\rho, \theta)=R(\rho)\Theta(\theta) \).
Sostituisco nell'equazione differenziale e trovo:
\(\displaystyle \rho^{2}\frac{R^{''}(\rho)}{R(\rho)}+\rho\frac{R^{'}(\rho)}{R(\rho)}=-\frac{\Theta^{''}(\theta)}{\Theta(\theta)}=\lambda \) da cui segue:
\(\displaystyle \rho^{2}R^{''}(\rho)+\rho R^{'}(\rho)=\lambda R(\rho) \)
\(\displaystyle -\Theta^{''}(\theta)=\lambda\Theta(\theta) \)
2)Richiedo che \(\displaystyle \Theta \) sia periodica:
\(\displaystyle \lambda=n^{2} \) e \(\displaystyle \Theta_{n}(\theta)=a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta) \) per \(\displaystyle n=0,1,2,3,.... \)
L'equazione R diventa quindi: \(\displaystyle \rho^{2}R^{''}(\rho)+\rho R^{'}(\rho)-n^{2}R(\rho)=0 \) per \(\displaystyle \rho\epsilon(1,2) \)
3) Per \(\displaystyle n\neq 0 \) riconosco un'equazione di Eulero e cerco soluzioni del tipo \(\displaystyle R(\rho)=\rho^{\alpha} \) con \(\displaystyle \alpha \) da determinare:
\(\displaystyle \rho^{2}\alpha(\alpha-1)\rho{\alpha-2}+\rho\alpha\rho^{\alpha-1}-n^{2}\rho^{\alpha}=0 \) da cui: \(\displaystyle \alpha=\pm n \) e \(\displaystyle R_{n}(\rho)=c_{1}\rho^{n}+c_{2}\rho^{-n} \).
A questo punto non scarterei nessuna soluzione, nonostante \(\displaystyle \rho^{-n} \) sia illimitata nell'origine, faccio bene?
Per \(\displaystyle n=0 \) l'equazione \(\displaystyle \rho^{2}R^{''}(\rho)+\rho R^{'}(\rho)=0 \) è di Eulero con la sostituzione \(\displaystyle R^{'}(\rho)=\rho^{\beta} \) che dà \(\displaystyle \beta=-1 \) e \(\displaystyle R(\rho)=d_{1}+d_{2}\log{x} \).
Non scarto nessuna soluzione nemmeno ora.
4)Le soluzioni a variabili separate sono quindi:
\(\displaystyle u_{n}(\rho,\theta)=d_{1}+d_{2}\log{x}+\sum_{n=1}^{\infty}[c_{1}\rho^{n}+c_{2}\rho^{-n}][a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta)] \)
Non so se sono giusti i passaggi fin qui e non so in che maniera tener conto del fatto che sono su una corona circolare quando andrò ad imporre le condizioni al contorno e quindi a sviluppare in serie di Fourier.
5)Per la prima condizione:
\(\displaystyle u(1,\theta)=d_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}2[a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta)]=1\)
Quindi posto: \(\displaystyle \frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta)]=1\) e quindi:
\(\displaystyle A_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(n\theta)d\theta \) e \(\displaystyle B_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin(n\theta)d\theta \)
Ma devo imporre anche l'altra condizione.... Sono un po' confuso.....
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{\partial^{2}u}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0 & \rho \epsilon (1,2) \theta \epsilon [0,2\pi] \\
u(1,\theta)=1 & per \theta \epsilon [0,2\pi] \\
u(2,\theta)=3 & per \theta \epsilon [0,2\pi] \\
\end{cases}\)
Procedo così:
1) Cerco soluzioni a variabili separate del tipo: \(\displaystyle U(\rho, \theta)=R(\rho)\Theta(\theta) \).
Sostituisco nell'equazione differenziale e trovo:
\(\displaystyle \rho^{2}\frac{R^{''}(\rho)}{R(\rho)}+\rho\frac{R^{'}(\rho)}{R(\rho)}=-\frac{\Theta^{''}(\theta)}{\Theta(\theta)}=\lambda \) da cui segue:
\(\displaystyle \rho^{2}R^{''}(\rho)+\rho R^{'}(\rho)=\lambda R(\rho) \)
\(\displaystyle -\Theta^{''}(\theta)=\lambda\Theta(\theta) \)
2)Richiedo che \(\displaystyle \Theta \) sia periodica:
\(\displaystyle \lambda=n^{2} \) e \(\displaystyle \Theta_{n}(\theta)=a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta) \) per \(\displaystyle n=0,1,2,3,.... \)
L'equazione R diventa quindi: \(\displaystyle \rho^{2}R^{''}(\rho)+\rho R^{'}(\rho)-n^{2}R(\rho)=0 \) per \(\displaystyle \rho\epsilon(1,2) \)
3) Per \(\displaystyle n\neq 0 \) riconosco un'equazione di Eulero e cerco soluzioni del tipo \(\displaystyle R(\rho)=\rho^{\alpha} \) con \(\displaystyle \alpha \) da determinare:
\(\displaystyle \rho^{2}\alpha(\alpha-1)\rho{\alpha-2}+\rho\alpha\rho^{\alpha-1}-n^{2}\rho^{\alpha}=0 \) da cui: \(\displaystyle \alpha=\pm n \) e \(\displaystyle R_{n}(\rho)=c_{1}\rho^{n}+c_{2}\rho^{-n} \).
A questo punto non scarterei nessuna soluzione, nonostante \(\displaystyle \rho^{-n} \) sia illimitata nell'origine, faccio bene?
Per \(\displaystyle n=0 \) l'equazione \(\displaystyle \rho^{2}R^{''}(\rho)+\rho R^{'}(\rho)=0 \) è di Eulero con la sostituzione \(\displaystyle R^{'}(\rho)=\rho^{\beta} \) che dà \(\displaystyle \beta=-1 \) e \(\displaystyle R(\rho)=d_{1}+d_{2}\log{x} \).
Non scarto nessuna soluzione nemmeno ora.
4)Le soluzioni a variabili separate sono quindi:
\(\displaystyle u_{n}(\rho,\theta)=d_{1}+d_{2}\log{x}+\sum_{n=1}^{\infty}[c_{1}\rho^{n}+c_{2}\rho^{-n}][a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta)] \)
Non so se sono giusti i passaggi fin qui e non so in che maniera tener conto del fatto che sono su una corona circolare quando andrò ad imporre le condizioni al contorno e quindi a sviluppare in serie di Fourier.
5)Per la prima condizione:
\(\displaystyle u(1,\theta)=d_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}2[a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta)]=1\)
Quindi posto: \(\displaystyle \frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta)]=1\) e quindi:
\(\displaystyle A_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(n\theta)d\theta \) e \(\displaystyle B_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin(n\theta)d\theta \)
Ma devo imporre anche l'altra condizione.... Sono un po' confuso.....
Risposte
Io, invece, prima di partire in quarta, tirerei ad indovinare... 
Dato che il dato al bordo è radiale e dato che l'insieme e l'equazione di Laplace sono invarianti per rotazioni, faccio il seguente educated guess:
\[
u(\rho ,\theta )=v(\rho)\; ,
\]
cioè "indovino" che la soluzione del problema sia radiale.
[N.B.: Per ragioni fisiche, questa conclusione è plausibilissima.
Infatti il tuo problema equivale a determinare l'intensità del campo elettrostatico all'interno di un condensatore piano circolare ad armature concentriche; come si sà, il campo elettrostatico è ortogonale alle piastre del condensatore in prossimità di queste; quindi se la distribuzione di carica è uniforme sulle armature, allora il campo non ha altre chances che essere radiale vicino alle due armature... A quel punto, dentro al condensatore non possono succedere cose troppo "strane", quindi l'idea è che il campo rimanga radiale anche in mezzo alle piastre.]
Dato che il dato al bordo è radiale e dato che l'insieme e l'equazione di Laplace sono invarianti per rotazioni, faccio il seguente educated guess:
\[
u(\rho ,\theta )=v(\rho)\; ,
\]
cioè "indovino" che la soluzione del problema sia radiale.
[N.B.: Per ragioni fisiche, questa conclusione è plausibilissima.
Infatti il tuo problema equivale a determinare l'intensità del campo elettrostatico all'interno di un condensatore piano circolare ad armature concentriche; come si sà, il campo elettrostatico è ortogonale alle piastre del condensatore in prossimità di queste; quindi se la distribuzione di carica è uniforme sulle armature, allora il campo non ha altre chances che essere radiale vicino alle due armature... A quel punto, dentro al condensatore non possono succedere cose troppo "strane", quindi l'idea è che il campo rimanga radiale anche in mezzo alle piastre.]
Grazie, capisco il tuo ragionamento e non fa una piega, ma se invece volessi mantenere la dipendenza da \(\displaystyle \theta \) e cercassi i valori delle costanti sostituendo direttamente nell'espressione di \(\displaystyle R(\rho) \) invece che in quella finale (come hai fatto tu tranne che non consideri la dipendenza da \(\displaystyle \theta \))?
In questo modo verrebbe:
per \(\displaystyle n=0 \) (come hai fatto tu)
\(\displaystyle \begin{cases}
d_{1}+d_{2}\log 1=1 \\
d_{1}+d_{2}\log 2=3 \\
\end{cases}\)
quindi: \(\displaystyle R_{0}(\rho)=1+\frac{2}{\log 2}\log \rho \)
per \(\displaystyle n>0 \):
\(\displaystyle \begin{cases}
c_{1}1^{n}+c_{2}1^{-n}=1 \\
c_{1}2^{n}+c_{2}2^{-n}=3 \\
\end{cases}\)
quindi: \(\displaystyle R_{n}(rho)=\frac{2^{-n}-3}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{n}+\frac{3-2^{n}}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{-n} \)
e mettendo assieme tutto:
\(\displaystyle u(\rho,\theta)=1+\frac{2}{\log 2}\log \rho+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2^{-n}-3}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{n}+\frac{3-2^{n}}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{-n}][a_{n}cos(n\theta)+b_{n}sin(n\theta)] \)
Secondo te potrebbe andare bene anche così?
In questo modo verrebbe:
per \(\displaystyle n=0 \) (come hai fatto tu)
\(\displaystyle \begin{cases}
d_{1}+d_{2}\log 1=1 \\
d_{1}+d_{2}\log 2=3 \\
\end{cases}\)
quindi: \(\displaystyle R_{0}(\rho)=1+\frac{2}{\log 2}\log \rho \)
per \(\displaystyle n>0 \):
\(\displaystyle \begin{cases}
c_{1}1^{n}+c_{2}1^{-n}=1 \\
c_{1}2^{n}+c_{2}2^{-n}=3 \\
\end{cases}\)
quindi: \(\displaystyle R_{n}(rho)=\frac{2^{-n}-3}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{n}+\frac{3-2^{n}}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{-n} \)
e mettendo assieme tutto:
\(\displaystyle u(\rho,\theta)=1+\frac{2}{\log 2}\log \rho+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2^{-n}-3}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{n}+\frac{3-2^{n}}{2^{-n}-2^{n}}\rho^{-n}][a_{n}cos(n\theta)+b_{n}sin(n\theta)] \)
Secondo te potrebbe andare bene anche così?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo