Equazione di Laplace sul rettangolo
Devo risolvere con il metodo di separazione delle variabili il seguente problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace sul rettangolo:
\(\displaystyle \begin{cases}
u_{xx}+u_{yy} = 0 & per x\epsilon (0,A), y \epsilon (0,B) \\
u(x,0)=u(x,B)=u(A,Y)=0 & \\
u(0,y)=f(y) & \\
\end{cases} \)
Viene suggerito che il problema agli autovalori è quello nella \(\displaystyle Y(y) \) che deve annularsi ad entrambi gli estremi. Viene richiesto di scrivere la formula risolutiva nel modo più semplice e compatto.
Il procedimento che seguo è, dopo aver separato le variabili, trovare il problema agli autovalori:
\(\displaystyle \begin{cases}
Y^{''}(y)=-\lambda Y(y) & per y\epsilon (0,B) \\
Y(0)=Y(B)=0
\end{cases} \)
che mi porta a trovare una soluzione non banale solo per \(\displaystyle \lambda > 0 \):
\(\displaystyle C_{1}cos(\sqrt{\lambda}y)+C_{2}sin(\sqrt{\lambda}y) \) che mi da \(\displaystyle \lambda_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}}{B^{2}} \).
Andando poi a calcolare la \(\displaystyle X(x) \) con il problema:
\(\displaystyle \begin{cases}
X^{''}(x)=\lambda_{n}X(x) & per x\epsilon (0,A) \\
X(A)=0 & \\
\end{cases} \)
e visto che \(\displaystyle \lambda_{n}>0 \) mi trovo:
\(\displaystyle X_{n}(A)=a_{n}e^{\lambda_{n} x}+b_{n}e^{-\lambda_{n} x} \) ed imponendo la condizione iniziale: \(\displaystyle X(x)=b_{n}e^{-\lambda_{n} x} \).
Questa soluzione, assieme a quella trovata prima mi porta a scrivere la soluzione generale in questo modo:
\(\displaystyle u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n \pi}{B}x}sin(\frac{n\pi}{B}y) \)
Ma la soluzione sulla dispensa dice che invece dovrebbe essere:
\(\displaystyle u(x,y)=\sum{n=1}^{\infty}b_{n}\frac{Sh[n\pi (A-x)]}{Sh(n\pi A)}sin(\frac{n\pi}{B}y) \) dove \(\displaystyle Sh \) dovrebbe essere il seno iperbolico (con una strana notazione).
Ora, anche sviluppando il seno iperbolico non riesco ad arrivare alla mia soluzione, dove sbaglio?
\(\displaystyle \begin{cases}
u_{xx}+u_{yy} = 0 & per x\epsilon (0,A), y \epsilon (0,B) \\
u(x,0)=u(x,B)=u(A,Y)=0 & \\
u(0,y)=f(y) & \\
\end{cases} \)
Viene suggerito che il problema agli autovalori è quello nella \(\displaystyle Y(y) \) che deve annularsi ad entrambi gli estremi. Viene richiesto di scrivere la formula risolutiva nel modo più semplice e compatto.
Il procedimento che seguo è, dopo aver separato le variabili, trovare il problema agli autovalori:
\(\displaystyle \begin{cases}
Y^{''}(y)=-\lambda Y(y) & per y\epsilon (0,B) \\
Y(0)=Y(B)=0
\end{cases} \)
che mi porta a trovare una soluzione non banale solo per \(\displaystyle \lambda > 0 \):
\(\displaystyle C_{1}cos(\sqrt{\lambda}y)+C_{2}sin(\sqrt{\lambda}y) \) che mi da \(\displaystyle \lambda_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}}{B^{2}} \).
Andando poi a calcolare la \(\displaystyle X(x) \) con il problema:
\(\displaystyle \begin{cases}
X^{''}(x)=\lambda_{n}X(x) & per x\epsilon (0,A) \\
X(A)=0 & \\
\end{cases} \)
e visto che \(\displaystyle \lambda_{n}>0 \) mi trovo:
\(\displaystyle X_{n}(A)=a_{n}e^{\lambda_{n} x}+b_{n}e^{-\lambda_{n} x} \) ed imponendo la condizione iniziale: \(\displaystyle X(x)=b_{n}e^{-\lambda_{n} x} \).
Questa soluzione, assieme a quella trovata prima mi porta a scrivere la soluzione generale in questo modo:
\(\displaystyle u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n \pi}{B}x}sin(\frac{n\pi}{B}y) \)
Ma la soluzione sulla dispensa dice che invece dovrebbe essere:
\(\displaystyle u(x,y)=\sum{n=1}^{\infty}b_{n}\frac{Sh[n\pi (A-x)]}{Sh(n\pi A)}sin(\frac{n\pi}{B}y) \) dove \(\displaystyle Sh \) dovrebbe essere il seno iperbolico (con una strana notazione).
Ora, anche sviluppando il seno iperbolico non riesco ad arrivare alla mia soluzione, dove sbaglio?
Risposte
Separando le variabili dalla PDE seguono le due EDO:
\[
X^{\prime \prime}-\lambda X =0 \qquad \text{e} \qquad Y^{\prime \prime} +\lambda Y=0\; .
\]
Le condizioni iniziali, importano:
\[
X(a)Y(y)=0,\ X(x)Y(0)=0,\ X(x)Y(b)=0 \qquad \text{e} \qquad X(0)Y(y)=f(y)
\]
da cui, per la \(Y\) si traggono le condizioni omogenee \(Y(0)=0=Y(b)\).
Conseguentemente la \(Y\) sarà determinabile se e solo se \(\lambda=\lambda_n=n^2\pi^2/b^2\) con \(n\geq 1\) e sarà del tipo:
\[
Y(y)=Y_n(y):= A_n\ \sin \left( \frac{n\pi}{b}\ y\right)\; .
\]
D'altra parte, alla EDO per \(X\) bisogna certamente accoppiare la condizione \(X(a)=0\), sicché \(X\) risolve un problema del tipo:
\[
\begin{cases}
X^{\prime \prime} -\frac{n^2\pi^2}{b^2}\ X=0\\
X(a)=0\; .
\end{cases}
\]
Si vede che le soluzioni \(X_n\) del precedente problema sono del tipo:
\[
X_n(x) := C_n\ \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ x\right) +D_n\ \exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ x\right)
\]
cosicché la condizione iniziale importa che tra le due costanti arbitrarie debba sussistere la relazione:
\[
C_n\ \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ a\right) +D_n\ \exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ a\right) =0
\]
ossia \(D_n = -C_n\ \exp \left( 2\frac{n\pi}{b}\ a\right)\); perciò, se si sceglie la costante arbitraria \(C_n :=c_n\ \exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ a\right)\), la prededente relazione si semplifica in \(D_n=-c_n\ \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ a\right)\) e per la \(X_n\) si ottiene:
\[
X_n(x)= c_n\ \left( \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right) -\exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right)\right) = c_n\ \sinh \left( \frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right)
\]
(nell'ultimo \(c_n\) è stato inglobato anche un fattore \(2\)).
Conseguentemente:
\[
u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty c_n\ \sinh \left( \frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right)\ \sin \left( \frac{n\pi}{b}\ y\right)
\]
è l'espansione in serie della soluzione cercata.
Ponendo \(x=0\) e ricordando che \(u(0,y)=f(y)\), i coefficienti \(c_n\) vanno determinati in modo che:
\[
f(y)= \sum_{n=1}^\infty c_n\ \sinh \left( - \frac{n\pi}{b}\ a\right)\ \sin \left( \frac{n\pi}{b}\ y\right)
\]
e ciò si può sempre fare, prolungando in modo dispari la \(f\) su tutto l'intervallo \([-b,b]\).
\[
X^{\prime \prime}-\lambda X =0 \qquad \text{e} \qquad Y^{\prime \prime} +\lambda Y=0\; .
\]
Le condizioni iniziali, importano:
\[
X(a)Y(y)=0,\ X(x)Y(0)=0,\ X(x)Y(b)=0 \qquad \text{e} \qquad X(0)Y(y)=f(y)
\]
da cui, per la \(Y\) si traggono le condizioni omogenee \(Y(0)=0=Y(b)\).
Conseguentemente la \(Y\) sarà determinabile se e solo se \(\lambda=\lambda_n=n^2\pi^2/b^2\) con \(n\geq 1\) e sarà del tipo:
\[
Y(y)=Y_n(y):= A_n\ \sin \left( \frac{n\pi}{b}\ y\right)\; .
\]
D'altra parte, alla EDO per \(X\) bisogna certamente accoppiare la condizione \(X(a)=0\), sicché \(X\) risolve un problema del tipo:
\[
\begin{cases}
X^{\prime \prime} -\frac{n^2\pi^2}{b^2}\ X=0\\
X(a)=0\; .
\end{cases}
\]
Si vede che le soluzioni \(X_n\) del precedente problema sono del tipo:
\[
X_n(x) := C_n\ \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ x\right) +D_n\ \exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ x\right)
\]
cosicché la condizione iniziale importa che tra le due costanti arbitrarie debba sussistere la relazione:
\[
C_n\ \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ a\right) +D_n\ \exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ a\right) =0
\]
ossia \(D_n = -C_n\ \exp \left( 2\frac{n\pi}{b}\ a\right)\); perciò, se si sceglie la costante arbitraria \(C_n :=c_n\ \exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ a\right)\), la prededente relazione si semplifica in \(D_n=-c_n\ \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ a\right)\) e per la \(X_n\) si ottiene:
\[
X_n(x)= c_n\ \left( \exp \left( \frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right) -\exp \left( -\frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right)\right) = c_n\ \sinh \left( \frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right)
\]
(nell'ultimo \(c_n\) è stato inglobato anche un fattore \(2\)).
Conseguentemente:
\[
u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty c_n\ \sinh \left( \frac{n\pi}{b}\ (x-a)\right)\ \sin \left( \frac{n\pi}{b}\ y\right)
\]
è l'espansione in serie della soluzione cercata.
Ponendo \(x=0\) e ricordando che \(u(0,y)=f(y)\), i coefficienti \(c_n\) vanno determinati in modo che:
\[
f(y)= \sum_{n=1}^\infty c_n\ \sinh \left( - \frac{n\pi}{b}\ a\right)\ \sin \left( \frac{n\pi}{b}\ y\right)
\]
e ciò si può sempre fare, prolungando in modo dispari la \(f\) su tutto l'intervallo \([-b,b]\).
Grazie gugo, sei sempre di importantissimo aiuto! 
Volevo chiederti però per quale motivo la condizione:
\(\displaystyle C_{n}exp(\frac{n\pi}{b}a)+D_{n}exp(-\frac{n\pi}{b}a)\) non mi porta a concludere che \(\displaystyle C_{n}=D_{n}=0 \) come ho fatto (implicitamente) nel primo problema agli autovalori? Il motivo è perché ora le due costanti dipendono da \(\displaystyle n \)? Ma se \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \) allora \(\displaystyle exp(-\frac{n\pi}{b}a) \rightarrow 0\) e mi lascia \(\displaystyle D_{n} \) indeterminato, è per questo che lo hai calcolato in base al valore dell'altra costante?
Grazie per le ulteriori spiegazioni.
Volevo chiederti però per quale motivo la condizione:\(\displaystyle C_{n}exp(\frac{n\pi}{b}a)+D_{n}exp(-\frac{n\pi}{b}a)\) non mi porta a concludere che \(\displaystyle C_{n}=D_{n}=0 \) come ho fatto (implicitamente) nel primo problema agli autovalori? Il motivo è perché ora le due costanti dipendono da \(\displaystyle n \)? Ma se \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \) allora \(\displaystyle exp(-\frac{n\pi}{b}a) \rightarrow 0\) e mi lascia \(\displaystyle D_{n} \) indeterminato, è per questo che lo hai calcolato in base al valore dell'altra costante?
Grazie per le ulteriori spiegazioni.
"Doblone":
Grazie gugo, sei sempre di importantissimo aiuto!
\(\displaystyle C_{n}exp(\frac{n\pi}{b}a)+D_{n}exp(-\frac{n\pi}{b}a) =0\) non mi porta a concludere che \(\displaystyle C_{n}=D_{n}=0 \) come ho fatto (implicitamente) nel primo problema agli autovalori? Il motivo è perché ora le due costanti dipendono da \(\displaystyle n \)? Ma se \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \) allora \(\displaystyle exp(-\frac{n\pi}{b}a) \rightarrow 0\) e mi lascia \(\displaystyle D_{n} \) indeterminato, è per questo che lo hai calcolato in base al valore dell'altra costante?
Beh, no.
Il motivo è semplicemente che hai una sola equazione (i.e., \(C_{n} \exp(\frac{n\pi}{b}a)+D_{n} \exp(-\frac{n\pi}{b}a) =0\)) in due incognite (\(C_n,\ D_n\)) quindi, come ben sai, non è possibile determinare il valore di entrambe le incognite: l'unica cosa che si può fare è dire come varia un'incognita (\(D_n\)) in funzione dell'altra (\(C_n\)), assunta come parametro.
Nell'altro caso, cioè nel "problema agli autovalori", la situazione era ben diversa: avendo due condizioni iniziali hai potuto scrivere un sistema di due equazioni in due incognite, e tale sistema ti consente di determinare effettivamente il valore di entrambe le costanti quando (e solo quando) il suo determinante è diverso da zero.
Ma certo! Grazie mille ancora allora!
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