Equazione di laplace nel semicerchio
Ho già rivolto la questione ad Arrigo Amadori ( www.arrigoamadori.com) e lui mi ha detto che mi serve uno fresco di studi e mi ha consigliato di andare su questo sito. Bene eccomi qua.
Sto studianto le equazioni differenziali alle derivate parziali ed ho un problema con l'equazione di laplace nel semicerchio. Nel cerchio ho capito come si determina la soluzione ma nel semicerchio come devo operare nel caso si abbiano due condizioni al contorno, una sulla frontiera curva e l'altra sul diametro del semicerchio.Non mi serve la soluzione completa ma capire a grandi linee come devo fare ( certo se mi date la soluzione non la rifiuto ma a me interessa capire come ci arrivo).
Ad esempio nel caso dell'eq. di laplace nel cerchio si parte da uno sviluppo in serie di fourier complessa della soluzione dell'equazione (quindi con gli n che vanno da meno infinito a +infinito).Invece nel semicerchio devo fare lo stesso o ad esempio gli n della serie dovranno partire da zero? Oppure devo porre modifiche al caso del cerchio intero quando applico le condizioni al contorno?Non so, sono confuso.Come potrei fare quindi? O ad esempio se invece del semicerchio avessi un ellisse sapete come si opera?
riporto il testo dell'esercizio:
dominio omega= x^2+y^2 <= 1, con x>=0.
condizoni al contorno
u(x,y)= x se y= 0
u(x,y)= x +y se x^2+y^2=1
u(x,y)= y se x=0
Spero di essere stato chiaro.
Grazie tante
Sto studianto le equazioni differenziali alle derivate parziali ed ho un problema con l'equazione di laplace nel semicerchio. Nel cerchio ho capito come si determina la soluzione ma nel semicerchio come devo operare nel caso si abbiano due condizioni al contorno, una sulla frontiera curva e l'altra sul diametro del semicerchio.Non mi serve la soluzione completa ma capire a grandi linee come devo fare ( certo se mi date la soluzione non la rifiuto ma a me interessa capire come ci arrivo).
Ad esempio nel caso dell'eq. di laplace nel cerchio si parte da uno sviluppo in serie di fourier complessa della soluzione dell'equazione (quindi con gli n che vanno da meno infinito a +infinito).Invece nel semicerchio devo fare lo stesso o ad esempio gli n della serie dovranno partire da zero? Oppure devo porre modifiche al caso del cerchio intero quando applico le condizioni al contorno?Non so, sono confuso.Come potrei fare quindi? O ad esempio se invece del semicerchio avessi un ellisse sapete come si opera?
riporto il testo dell'esercizio:
dominio omega= x^2+y^2 <= 1, con x>=0.
condizoni al contorno
u(x,y)= x se y= 0
u(x,y)= x +y se x^2+y^2=1
u(x,y)= y se x=0
Spero di essere stato chiaro.
Grazie tante
Risposte
Nessuno sa aiutarmi ?o nessuno ha voglia. vi prego non so come fare
Dico la mia, anche se non ho mai risolto "praticamente" un problema del genere.
Suppongo che cerchi una soluzione in coordinate polari $(r,theta)$: in tal caso il problema di Laplace per il semicerchio $S=\{ (x,y)\in RR^2: x^2+y^2<=1, x>=0\}$ si trasforma in un problema per il rettangolo $D=\{ (r,theta)\in RR^2: 0<=r<=1, -pi/2<=theta<=pi/2\}$ con l'operatore di Laplace $\Delta$ espresso in coordinate polari:
$Delta u=1/r(\partial)/(\partial r)[r*(\partial u)/(\partial r)]+1/r^2(\partial^2 u)/(\partial theta^2)\quad$ (se non ricordo male).
Le condizioni iniziali:
$\{(u(x,y)=x, " se " y=0),(u(x,y)=x+y, " se " x^2+y^2=1),(u(x,y)=y, " se " x=0):}$
diventano:
(*) $\quad \{(u(r,\theta)=r, " se " theta=0),(u(r,theta)=costheta+sintheta, " se " r=1),(u(r,theta)=r, " se " theta=pi/2),(u(r,theta)=-r, " se " theta=-pi/2):}$
salvo disattenzioni mie.
[N.B.: le ultime due condizioni in (*) discendono entrambe dalla terza condizione iniziale del problema assegnato.]
Se cerchi una soluzione che separi le variabili, $u(r, theta)=R(r)*Theta(theta)$, l'equazione si semplifica ulteriormente; in particolare tutto viene ricondotto alla risoluzione di due problemi agli autovalori, uno rispetto a $Theta$ e l'altro rispetto a $R$ (ma probabilmente queste cose te le ricordi meglio di me, che ho fatto Analisi Superiore un po' di tempo fa!
); le condizioni iniziali (*) ti aiutano a determinare le due funzioni incognite $R$ e $Theta$.
"A occhio" direi che se prendi $R(r)=r$ e $Theta(theta)=costheta+sintheta$ (che poi sono le condizioni iniziali!), la funzione $u=R*Theta$ verifica l'equazione di Laplace e le condizioni al bordo, quindi è la soluzione che cerchi.
Tenendo presente che $r=\sqrt(x^2+y^2)$ e che $theta=arctan(y/x)$, la soluzione del tuo problema iniziale dovrebbe esprimersi:
$u(x,y)=\sqrt(x^2+y^2)*\{cos (arctan(y/x))+sin (arctan(y/x))\}$
nell'interno di $S$ e si prolunga con continuità su $\partial S$ in modo da verificare le condizioni al bordo.
Ovviamente il tutto salvo marchiani errori.
Suppongo che cerchi una soluzione in coordinate polari $(r,theta)$: in tal caso il problema di Laplace per il semicerchio $S=\{ (x,y)\in RR^2: x^2+y^2<=1, x>=0\}$ si trasforma in un problema per il rettangolo $D=\{ (r,theta)\in RR^2: 0<=r<=1, -pi/2<=theta<=pi/2\}$ con l'operatore di Laplace $\Delta$ espresso in coordinate polari:
$Delta u=1/r(\partial)/(\partial r)[r*(\partial u)/(\partial r)]+1/r^2(\partial^2 u)/(\partial theta^2)\quad$ (se non ricordo male).
Le condizioni iniziali:
$\{(u(x,y)=x, " se " y=0),(u(x,y)=x+y, " se " x^2+y^2=1),(u(x,y)=y, " se " x=0):}$
diventano:
(*) $\quad \{(u(r,\theta)=r, " se " theta=0),(u(r,theta)=costheta+sintheta, " se " r=1),(u(r,theta)=r, " se " theta=pi/2),(u(r,theta)=-r, " se " theta=-pi/2):}$
salvo disattenzioni mie.
[N.B.: le ultime due condizioni in (*) discendono entrambe dalla terza condizione iniziale del problema assegnato.]
Se cerchi una soluzione che separi le variabili, $u(r, theta)=R(r)*Theta(theta)$, l'equazione si semplifica ulteriormente; in particolare tutto viene ricondotto alla risoluzione di due problemi agli autovalori, uno rispetto a $Theta$ e l'altro rispetto a $R$ (ma probabilmente queste cose te le ricordi meglio di me, che ho fatto Analisi Superiore un po' di tempo fa!
); le condizioni iniziali (*) ti aiutano a determinare le due funzioni incognite $R$ e $Theta$."A occhio" direi che se prendi $R(r)=r$ e $Theta(theta)=costheta+sintheta$ (che poi sono le condizioni iniziali!), la funzione $u=R*Theta$ verifica l'equazione di Laplace e le condizioni al bordo, quindi è la soluzione che cerchi.
Tenendo presente che $r=\sqrt(x^2+y^2)$ e che $theta=arctan(y/x)$, la soluzione del tuo problema iniziale dovrebbe esprimersi:
$u(x,y)=\sqrt(x^2+y^2)*\{cos (arctan(y/x))+sin (arctan(y/x))\}$
nell'interno di $S$ e si prolunga con continuità su $\partial S$ in modo da verificare le condizioni al bordo.
Ovviamente il tutto salvo marchiani errori.
Innanzi tutto grazie per avermi risposto. grazie tante.
Appena riesco provo a risolvere il problema con l'aaiuto che mi hai dato . poi ti farò sapere se ci sarai ancora.ho un sacco da studiare e ti farò sapere nei prossimi giorni.
Grazie di nuovo
Appena riesco provo a risolvere il problema con l'aaiuto che mi hai dato . poi ti farò sapere se ci sarai ancora.ho un sacco da studiare e ti farò sapere nei prossimi giorni.
Grazie di nuovo
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