Equazione di laplace in coordinate polari

[Iris941]

Salve a tutti,
vorrei chiedervi un chiarimento riguardo la forma polare dell'equazione di Laplace




Non riesco a capire il perché del 13) passaggio, cioè non capisco che relazione c'è tra u e v per poter fare il 13) mentre tutti i passaggi al di sopra mi sono chiari , spero riusciate a chiarirmi tramite qualche spiegazione o passaggio il perché di quel passo

[Luca.Lussardi]

Penso che sia solo il cambio di variabili opposto, assegnati $x,y$ trovi $r$ e $\theta$ tali che $x=r \cos\theta$ e $y=r\sin\theta$.

[Iris941]

cosa rappresenta v in quella dimostrazione ?
non ho capito perché adopera quel passaggio per il cambiamento di variabile

[Luca.Lussardi]

$v$ e' la funzione composta tra il cambiamento di variabili e $u$: da $(r,\theta)$ passi a $(x,y)$ cui ci applichi $u$ e trovi una funzione, componendo, di $(r,\theta)$.

[Iris941]

Ok sei stato davvero chiarissimo !

Un altra cosa nel passaggio successivo per trovare
$(d(u))/(d(x))$ non dovrebbe fare la $(d(v))/(d(x))$ ? invece compare $(d(v))/(d(theta))$

[Luca.Lussardi]

E' giusto che compaia $\frac{\partial v}{\partial \theta}$, $v$ e' funzione di $r$ e $\theta$, mentre $u$ di $x$ e $y$ quindi avranno senso le derivate $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$, $\frac{\partial v}{\partial r}$ e $\frac{\partial v}{\partial \theta}$.

[Iris941]

Ok grazie mille adesso ho capito