Equazione di Laplace
Salve a tutti avrei una questione da porvi.....
Qualcuno sa indicarmi del perchè in un moto a potenziale (incompressibile e conservativo) per cui è valida
l'equazione di Laplace, quest'ultima può essere chiusa sui bordi del dominio soltanto con una delle tre condizioni
(Dirichlet, Neumann o Robin)?
In altre parole perchè l'equazione di Laplace non può essere chiusa sul bordo di un dominio contemporaneamente con
condizione alla Neumann e condizione alla Dirichlet??
Spero di essermi spiegato...grazie x l'attenzione
Qualcuno sa indicarmi del perchè in un moto a potenziale (incompressibile e conservativo) per cui è valida
l'equazione di Laplace, quest'ultima può essere chiusa sui bordi del dominio soltanto con una delle tre condizioni
(Dirichlet, Neumann o Robin)?
In altre parole perchè l'equazione di Laplace non può essere chiusa sul bordo di un dominio contemporaneamente con
condizione alla Neumann e condizione alla Dirichlet??
Spero di essermi spiegato...grazie x l'attenzione
Risposte
La risposta "ovvia" è quella di dire: ti accorgi che con quella sola condizione c'è esistenza e unicità, aggiungendone un'altra rischi di perdere l'esistenza (altrimenti vuol dire che la condizione che hai messo è inutile).
Probabilmente tu stai cercando un'analogia con le ODE. Il fatto è che un'equazione del secondo ordine di solito richiederebbe (nel caso delle ODE) due condizioni, ma in un punto. Tu prescrivi il comportamento della funzione sull'intero bordo, quindi è ben di più...
Per capirlo pensa al caso unidimensionale (ODE). L'equazione di Laplace è allora $u_{xx} = 0$, le cui soluzioni sono le rette.
Ponendo la condizione di Dirichlet ottieni 2 condizioni (i due valori agli estremi dell'intervallo) che determinano univocamente la soluzione. Non ti serve di mettere condizioni sulle derivate.
Spero di essermi spiegata.
Se non è chiaro, chiedi pure.
Probabilmente tu stai cercando un'analogia con le ODE. Il fatto è che un'equazione del secondo ordine di solito richiederebbe (nel caso delle ODE) due condizioni, ma in un punto. Tu prescrivi il comportamento della funzione sull'intero bordo, quindi è ben di più...
Per capirlo pensa al caso unidimensionale (ODE). L'equazione di Laplace è allora $u_{xx} = 0$, le cui soluzioni sono le rette.
Ponendo la condizione di Dirichlet ottieni 2 condizioni (i due valori agli estremi dell'intervallo) che determinano univocamente la soluzione. Non ti serve di mettere condizioni sulle derivate.
Spero di essermi spiegata.
Se non è chiaro, chiedi pure.
Grazie grazie grazie 
...sei stata davvero davvero gentilissima...il dubbio mi è sorto xkè quando risolvi le Navier-Stokes intorno un
corpo, all'interno dello strato limite devi tener conto degli sforzi viscosi e, sul bordo del corpo (che costituisce una delle frontiere del
tuo dominio di integrazione) devi porre sia la condizione di Dirichlet xkè sul corpo la velocità è nulla, sia la condizione alla Neumann
per rispettare l'impermeabilità del corpo stesso (quindi come vedi il problema è particolare xkè è di Dirichlet-Neumann)...poi all'esterno
del famoso strato limite puoi risolvere un campo a potenziale (...e quindi la classica equazione di Laplace che è nient' altro che una soluzione
particolare delle Navier-Stokes)...comunque ancora grazie...credo che dopo la Laurea ne prenderò un'altra in Matematica....
..ancora troppe lacune..
...sei stata davvero davvero gentilissima...il dubbio mi è sorto xkè quando risolvi le Navier-Stokes intorno uncorpo, all'interno dello strato limite devi tener conto degli sforzi viscosi e, sul bordo del corpo (che costituisce una delle frontiere del
tuo dominio di integrazione) devi porre sia la condizione di Dirichlet xkè sul corpo la velocità è nulla, sia la condizione alla Neumann
per rispettare l'impermeabilità del corpo stesso (quindi come vedi il problema è particolare xkè è di Dirichlet-Neumann)...poi all'esterno
del famoso strato limite puoi risolvere un campo a potenziale (...e quindi la classica equazione di Laplace che è nient' altro che una soluzione
particolare delle Navier-Stokes)...comunque ancora grazie...credo che dopo la Laurea ne prenderò un'altra in Matematica....
..ancora troppe lacune..
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