Equazione di grado superiore al secondo

[sanjoe_pro]

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:

Dimostrare che l'equazione x^6 - 6x + 3 = 0 ha esattamente due radici reali.
Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato.

Grazie in anticipo.

[Zero87]

"pala2013":Dimostrare che l'equazione x^6 - 6x + 3 = 0 ha esattamente due radici reali.
Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato.

Grazie in anticipo.

Considera $f(x)=x^6-6x+3$.

Ora, per $x-> \pm \infty$ hai $f(x)->+\infty$. Usi il teorema della permanenza del segno
- se $f(x)->+\infty$ per $x->+\infty$ vuol dire che esiste $x_0$ reale positivo tale che $f(x)>0$ per $x>x_0$
- discorso simile a prima (a parti invertite per l'altro limite).

Se ci fai caso, hai $f(1)=1-6+3<0$: unendo questa informazione alle precedenti concludi che l'equazione ha almeno 2 radici reali in quanto $f(x)$ interseca almeno 2 volte l'asse $x$ proprio per quanto detto.

Per dimostrare che ce ne sono solo 2, un'idea è quella di farsi aiutare con la derivata prima: in genere aiuta - confermo che vale anche ora - quando si tratta di roba come $x^n + ax+b=0$ con $n$ stratosferico.

[sanjoe_pro]

si perfetto, grazie mille ... e per determinare in maniera apprrosimata le due radici reali come faccio attraverso la derivata?

[gio73]

"pala2013":si perfetto, grazie mille ... e per determinare in maniera apprrosimata le due radici reali come faccio?

Prova a buttar giù qualche idea.

[Zero87]

"pala2013":si perfetto, grazie mille ... e per determinare in maniera apprrosimata le due radici reali come faccio attraverso la derivata?

Attraverso lo studio della derivata si dimostrano che ce ne sono due, non serve per trovarle.

La derivata è molto chic in questi casi:
quando si ha $x^n+ax+b$ la derivata è $nx^(n-1)+a$ che è semplicissima da studiare e serve apposta per fare considerazioni sul numero delle radici.

Ovviamente lascio a te l'onore di postare qualche idea - sul filo del discorso di gio73 - ma volevo puntualizzare che non intendevo dire che "trovavo le soluzioni" con la derivata, ma che dimostravo che ce ne erano due.

[sanjoe_pro]

up

[Zero87]

Bene, ricapitoliamo.

Cosa hai capito fino ad ora?
Te lo dico - oltre che per comodità di altri utenti - anche per evitare di scrivere un papiro.

Pensavo che avevi risolto... poi ho visto che hai creato un nuovo thread uguale, bloccato (da regolamento) da gio73, e hai uppato questo.

[sanjoe_pro]

non ho capito come faccio a dimostrare che le radici sono due con la derivata prima. Scusami, questo esercizio mi spiazza proprio.

[Zero87]

"pala2013":Scusami, questo esercizio mi spiazza proprio.

Non preoccuparti.

Comunque un ultimo post, diciamo, di sicurezza: hai capito il perché ce ne sono "almeno due"?

(C'è da dimostrare che ce ne sono solo due, ancora, ma intanto puntualizzo qui )

[sanjoe_pro]

ehm no ... domattina faccio delle prove ... grazie mille

[sanjoe_pro]

"Zero87":[quote="pala2013"]si perfetto, grazie mille ... e per determinare in maniera apprrosimata le due radici reali come faccio attraverso la derivata?

Attraverso lo studio della derivata si dimostrano che ce ne sono due, non serve per trovarle.

La derivata è molto chic in questi casi:
quando si ha $x^n+ax+b$ la derivata è $nx^(n-1)+a$ che è semplicissima da studiare e serve apposta per fare considerazioni sul numero delle radici.

Ovviamente lascio a te l'onore di postare qualche idea - sul filo del discorso di gio73 - ma volevo puntualizzare che non intendevo dire che "trovavo le soluzioni" con la derivata, ma che dimostravo che ce ne erano due. [/quote]

ho risolto l'esercizio mediante il procedimento di zero ... per quanto riguarda quello mediante lo studio della derivata pimanon ho avuto risultati ma vorrei comunque capirlo, voi come procedereste?

[Zero87]

Bene, quindi hai mostrato che ci sono (almeno) due soluzioni reali. Ora resta da capire che ce ne sono solo 2.

Inizia a calcolare la derivata e a vedere quando è positiva/negativa: la cosa bella di queste funzioni è che la derivata è molto semplice da studiare (magari uno si fa trarre in inganno dal fatto che il grado è alto).