Equazione di Eulero per una principiante
Ciao a tutti,
vi sottopongo il seguente problemino che mi sta dando seri problemi (dovuti alle mie mancanze più che alla difficoltà...
).
Insomma devo trovare l'equazione di Eulero per l'espressione seguente:
Min $\int_1^2(3dot x(t)(1+t^2x(t))dt$
Applicando l'equazione di Eulero-Lagrange non posso ottenere come soluzione un'equazione con $ddot x$ vero??
Chiedo semplicemente questo perchè si tratta di un test a risposta multipla e tutte le scelte riportano il $ddot x$ come soluzione, a parte il classico "nessuna delle risposte"...
Che dite, faccio bene a prediligere questa opzione???
Grazie mille a chi avrà la pazienza di rispondere...
Ciao!
vi sottopongo il seguente problemino che mi sta dando seri problemi (dovuti alle mie mancanze più che alla difficoltà...
).Insomma devo trovare l'equazione di Eulero per l'espressione seguente:
Min $\int_1^2(3dot x(t)(1+t^2x(t))dt$
Applicando l'equazione di Eulero-Lagrange non posso ottenere come soluzione un'equazione con $ddot x$ vero??
Chiedo semplicemente questo perchè si tratta di un test a risposta multipla e tutte le scelte riportano il $ddot x$ come soluzione, a parte il classico "nessuna delle risposte"...
Che dite, faccio bene a prediligere questa opzione???
Grazie mille a chi avrà la pazienza di rispondere...
Ciao!
Risposte
Per ricavare l'equazione di Eulero relativa al funzionale [tex]$\int_{1}^{2} 3x^\prime (t)\ (1+t^2\ x(t))\ \text{d} t$[/tex] conviene scrivere l'integrando nella forma [tex]$f(t,x,\xi )= 3\xi\ (1+t^2\ x)$[/tex] e poi ricordare la regola che consente di scrivere l'equazione, che è:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ f_\xi (t,x(t),x^\prime (t))\Big] =f_x(t,x(t),x^\prime (t))$[/tex],
in cui [tex]$f_x$[/tex] ed [tex]$f_\xi$[/tex] sono le derivate parziali prime di [tex]$f(t,x,\xi)$[/tex] rispetto alle ultime due variabili.
Nel tuo caso hai:
[tex]$f_\xi(t,x,\xi) =3(1+t^2\ x)$[/tex] ed [tex]$f_x(t,x,\xi)=3t^2 \xi$[/tex]
perciò l'equazione di Eulero è data da:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ 3(1+t^2\ x(t)) \Big] =3t^2\ x^\prime (t) \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad t^2\ x^\prime (t)+2t\ x(t)=t^2\ x^\prime (t) \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad 2t\ x(t)=0$[/tex],
da cui ricavi la funzione critica per il funzionale, che è [tex]$x(t)=0$[/tex] in [tex]$[1,2]$[/tex].
*** EDIT: Corretto su segnalazione di fireball.
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ f_\xi (t,x(t),x^\prime (t))\Big] =f_x(t,x(t),x^\prime (t))$[/tex],
in cui [tex]$f_x$[/tex] ed [tex]$f_\xi$[/tex] sono le derivate parziali prime di [tex]$f(t,x,\xi)$[/tex] rispetto alle ultime due variabili.
Nel tuo caso hai:
[tex]$f_\xi(t,x,\xi) =3(1+t^2\ x)$[/tex] ed [tex]$f_x(t,x,\xi)=3t^2 \xi$[/tex]
perciò l'equazione di Eulero è data da:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ 3(1+t^2\ x(t)) \Big] =3t^2\ x^\prime (t) \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad t^2\ x^\prime (t)+2t\ x(t)=t^2\ x^\prime (t) \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad 2t\ x(t)=0$[/tex],
da cui ricavi la funzione critica per il funzionale, che è [tex]$x(t)=0$[/tex] in [tex]$[1,2]$[/tex].
*** EDIT: Corretto su segnalazione di fireball.
Grazie mille gugo82 
,
devo ammettere che a me veniva un risultato diverso, io usavo la formula $f_(dot x,dot x) ddot x + f_(dot x, x) dot x + f_(dot x, t) - f_x = 0$ (non sono riuscita a scriverlo bene, in pratica i primi 3 membri sono 3 derivate parziali doppie)...
Cmq per il mio test mi va già bene sapere che non esistono termini con $ddot x$ nella soluzione, poi approfondirò bene come risolvere, anche con il tuo metodo...
Di nuovo grazie mille, ciao! 
, devo ammettere che a me veniva un risultato diverso, io usavo la formula $f_(dot x,dot x) ddot x + f_(dot x, x) dot x + f_(dot x, t) - f_x = 0$ (non sono riuscita a scriverlo bene,
in pratica i primi 3 membri sono 3 derivate parziali doppie)...Cmq per il mio test mi va già bene sapere che non esistono termini con $ddot x$ nella soluzione, poi approfondirò bene come risolvere, anche con il tuo metodo...
Di nuovo grazie mille, ciao!
Vabbé Sammy, se ci fai caso abbiamo scritto la stessa cosa, solo io ho usato una notazione sintetica e tu hai sviluppato le derivate del primo membro con la regola di derivazione delle funzioni composte...
Insomma, non cambia nulla; solo la notazione.
P.S.: Con i miei superpoteri da mod, ti ho corretto anche le derivate parziali. Bastavano due parentesi ed un paio di virgole.
Insomma, non cambia nulla; solo la notazione.
P.S.: Con i miei superpoteri da mod, ti ho corretto anche le derivate parziali. Bastavano due parentesi ed un paio di virgole.
"gugo82":
Vabbé Sammy, se ci fai caso abbiamo scritto la stessa cosa, solo io ho usato una notazione sintetica e tu hai sviluppato le derivate del primo membro con la regola di derivazione delle funzioni composte...
Insomma, non cambia nulla; solo la notazione.
P.S.: Con i miei superpoteri da mod, ti ho corretto anche le derivate parziali. Bastavano due parentesi ed un paio di virgole.
Aaaaaah ok, allora tutto a posto!!
Grazie mille di nuovo...
Ciao!
Scusate, una curiosità... In questo caso l'equazione non poteva essere ricavata imponendo la condizione
[tex]$\left.\frac{\text{d}}{\text{d}\varepsilon} F\left(x+\varepsilon y\right)\right|_{\varepsilon=0} = 0\quad \forall y \text{ test}[/tex],
dove [tex]$F(x):=\int_1^2 3\dot x\left(1+t^2 x\right)\,\text{d}t[/tex] ?
(scritto in modo non formalissimo)
Così facendo a me viene [tex]6tx(t)=0[/tex].
[tex]$\left.\frac{\text{d}}{\text{d}\varepsilon} F\left(x+\varepsilon y\right)\right|_{\varepsilon=0} = 0\quad \forall y \text{ test}[/tex],
dove [tex]$F(x):=\int_1^2 3\dot x\left(1+t^2 x\right)\,\text{d}t[/tex] ?
(scritto in modo non formalissimo)
Così facendo a me viene [tex]6tx(t)=0[/tex].
"gugo82":
Per ricavare l'equazione di Eulero relativa al funzionale [tex]$\int_{1}^{2} 3x^\prime (t)\ (1+t^2\ x(t))\ \text{d} t$[/tex] conviene scrivere l'integrando nella forma [tex]$f(t,x,\xi )= 3\xi\ (1+t^2\ x)$[/tex] e poi ricordare la regola che consente di scrivere l'equazione, che è:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ f_\xi (t,x(t),x^\prime (t))\Big] =f_x(t,x(t),x^\prime (t))$[/tex],
in cui [tex]$f_x$[/tex] ed [tex]$f_\xi$[/tex] sono le derivate parziali prime di [tex]$f(t,x,\xi)$[/tex] rispetto alle ultime due variabili.
Nel tuo caso hai:
[tex]$f_\xi(t,x,\xi) =3(1+t^2\ x)$[/tex] ed [tex]$f_x(t,x,\xi)=6x\ \xi$[/tex]
perciò l'equazione di Eulero è data da:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ 3(1+t^2\ x(t)) \Big] =6x(t)\ x^\prime (t) \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad t^2\ x^\prime (t)+2t\ x(t)=3x(t)\ x^\prime (t)$[/tex].
Sì, ora che me ne accorgo il mio risultato si ottiene anche usando la formula che hai scritto tu, infatti mi pareva strano...
Si ha [tex]$f_x(t,x,\xi)=3\xi t^2[/tex] e non [tex]6x\xi[/tex].
@fireball: Quella che hai usato è "l'idea della dimostrazione" dell'equazione di Eulero; quindi deve portare necessariamente al risultato corretto.
E poi
... Sbagliare una derivata parziale così! Ma come si fa?
Mi scuso con Sammy se l'ho confusa e ringrazio fireball per avermi fatto notare l'errore.
E poi
... Sbagliare una derivata parziale così! Ma come si fa? Mi scuso con Sammy se l'ho confusa e ringrazio fireball per avermi fatto notare l'errore.
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