Equazione di Clairaut

[Aletzunny1]

Buonasera, ho un dubbio sulla risoluzione di un'equazione differenziale di Clairaut

$y=xy'-sin(y')$
Derivando rispetto a $x$ si ha
$y'' (x-cos(y'))=0$

a) $y''=0$ $-->$ $y(x)=cx+d$

b) $x-cos(y')=0$ $->cos(y')=x -> y'=arccos(x) -> y(x)=x*arccos(x)- sqrt(1-x^2) + a$

Tuttavia nel caso b) che differenza c'è a risolvere l'equazione come ho fatto io (sperando sia corretto) rispetto a porre $y'=t$ e trovare poi la soluzione $\{(x=cos(t)),(y=tcos(t)-sin(t)):}$ ?

Grazie

[gugo82]

Probabilmente non riesci a determinare l'integrale singolare... Ma dovrei fare due conti.

[Aletzunny1]

in che senso? non ho compreso ciò che vuoi dire

[Aletzunny1]

in che senso? non ho compreso ciò che vuoi dire

[Bokonon]

"gugo82":Probabilmente non riesci a determinare l'integrale singolare... Ma dovrei fare due conti.

L'argomento mi ha affascinato ma non metto bocca se no dico castronerie.
Sono solo curioso di sapere se ho azzeccato la risposta.

La soluzione singolare è $y_s(x)=xcos^(-1)(x)-sqrt(1-x^2)$ con $-1 La soluzione generale è $y_c(x)=cx-sin(c)$
$ { ( x=cos(c) ),( y=c cos(c)-sin(c)):} $
con $0
https://www.desmos.com/calculator/sb5pdcmgtb

[Aletzunny1]

E perché non considerare anche nella prima anche $x=+-1$?

[Aletzunny1]

E perché non considerare anche nella prima anche $x=+-1$?

[pilloeffe]

Ciao Aletzunny,

In realtà $y'' = 0 \implies y' = c $, che sostituita nell'equazione iniziale porge $y = cx - sin(c) $, quindi $d = - sin(c) $
La soluzione che hai proposto in b) è corretta, intuendo che $a $ sia la costante di integrazione. Quella posta in forma parametrica immagino sia più comoda graficamente qualora non si riesca ad integrare come invece nel caso in esame hai fatto. Potresti dare un'occhiata ad esempio qui.