Equazione di burgers
Data la nota equzione di burgers dovrei semplificarla e risolverla:
[tex]-v \frac{\partial ^2 W}{\partial x^2}+ W \frac{\partial W}{\partial x}-\frac{\partial W}{\partial t}=0[/tex]
devo eseguire la sostituzione seguente:
[tex]w=-\frac{2v \left( \frac{\partial }{\partial x} u \right)}{u}[/tex]
Potete verificarmi che la soluzione è la seguente per piacere?
[tex]-\frac{2v \left( \frac{\partial }{\partial x} u (t, x)\right)}{u(t ,x)} + \frac{2v \left(\frac{\partial}{\partial x} u ( t, x)\right) \left(\frac{\partial}{\partial t}u ( t, x)\right)}{(u(t,x))^2}-\frac{2v^2 \left(\frac{\partial}{\partial x} u (t, x)\right)\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} u (t, x)\right)}{(u(t,x))^2} + \frac{2 v^2 \left( \frac{\partial^3}{\partial x^3} u(t , x)\right)}{u (t,x)}=0[/tex]
[tex]-v \frac{\partial ^2 W}{\partial x^2}+ W \frac{\partial W}{\partial x}-\frac{\partial W}{\partial t}=0[/tex]
devo eseguire la sostituzione seguente:
[tex]w=-\frac{2v \left( \frac{\partial }{\partial x} u \right)}{u}[/tex]
Potete verificarmi che la soluzione è la seguente per piacere?
[tex]-\frac{2v \left( \frac{\partial }{\partial x} u (t, x)\right)}{u(t ,x)} + \frac{2v \left(\frac{\partial}{\partial x} u ( t, x)\right) \left(\frac{\partial}{\partial t}u ( t, x)\right)}{(u(t,x))^2}-\frac{2v^2 \left(\frac{\partial}{\partial x} u (t, x)\right)\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} u (t, x)\right)}{(u(t,x))^2} + \frac{2 v^2 \left( \frac{\partial^3}{\partial x^3} u(t , x)\right)}{u (t,x)}=0[/tex]
Risposte
Io non ho mai sentito parlare di equazione di burgers, ma se il problema sta solo nella sostituzione posso provare a darti una mano (tentiamo).
Ho bisogno però alcuni chiarimenti:
W dipende sia da x che da t, giusto? E u anche, giusto?
v invece è una funzione dipendente anche lei da x e da t o è una costante?
Ho bisogno però alcuni chiarimenti:
W dipende sia da x che da t, giusto? E u anche, giusto?
v invece è una funzione dipendente anche lei da x e da t o è una costante?
si , ho specificato meglio i parametri nella soluzione finale,grazie per l'aiuto,v è una costante e fisicamente si interpreta come la velocità dell'onda,per tua informazione l'equazione di burgers è il caso monodimensionale dell'equazione dell' idrodinamica di Nevier Stocks
Non credo che il tuo risultato sia giusto..
Infatti nell'equazione di Burgers hai come ultimo termine $(delW)/(delt)$ e quindi dovrebbe apparirti, dato che $W=-(2v((delu)/(delx)))/u$ una $(del)/(delt)(delu)/(delx)$ che invece non ti appare
Infatti nell'equazione di Burgers hai come ultimo termine $(delW)/(delt)$ e quindi dovrebbe apparirti, dato che $W=-(2v((delu)/(delx)))/u$ una $(del)/(delt)(delu)/(delx)$ che invece non ti appare
il professore mi ha dato questo risultato e infatti non mi trovavo,puoi scrivermi la tua espressione finale per piacere?
Va bene, ma devi avere un po' di pazienza perchè devo fare un po' di calcoli.
Intanto scrivimi il risultato che ottieni invece tu, così controllo se mi esce uguale.
Intanto scrivimi il risultato che ottieni invece tu, così controllo se mi esce uguale.
Mi è sorto un dubbio: ma quel W nel 2° termine davanti alla derivata ($W(delW)/(delx)$) è ancora la funzione W o è una costante?
in realtà mi sono bloccato perchè mi sto incasinando con le sostituzioni,cmq anche ad altri non torna la soluzione,se hai fatto giusto deve uscire l'equazione del calore o iperbolica
Il primo termine è $2v \frac{u_{xt}}{u}$, il secondo ha il segno sbagliato, gli altri due mi sembrano giusti.
quel termina è ancora la funzione W certo perciò l'equazione è quasi lineare.
ok gac...puoi spiegarmi come ci sei arrivato?:D che io mi cisto impicciando
Ho calcolato le derivate:
$w_x = -2v \frac{u_{x x}}{u} + 2v \frac{(u_x)^2}{u^2}$,
$w_{x x} = -2v \frac{u_{x x x}}{u}+6v \frac{u_{x x}u_x}{u^2}-4v \frac{(u_x)^3}{u^3}$,
$w_t = -2v \frac{u_{x t}}{u}+2v \frac{u_x u_t}{u^2}$
e sostituito.
$w_x = -2v \frac{u_{x x}}{u} + 2v \frac{(u_x)^2}{u^2}$,
$w_{x x} = -2v \frac{u_{x x x}}{u}+6v \frac{u_{x x}u_x}{u^2}-4v \frac{(u_x)^3}{u^3}$,
$w_t = -2v \frac{u_{x t}}{u}+2v \frac{u_x u_t}{u^2}$
e sostituito.
Allora:
$-(delW)/(delt)=2v[(((del)/(delt)(del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2]$
Poi:
$W(delW)/(delx)=4v^2[(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)^3)/u^3]$
Infine:
$-v((del^2)/(delx^2)W)=2v^2[(((del^3)/(delx^3)u)u-((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)-2(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)^3)/(u^3)]$
Perciò il 2° termine dell'ultimo pezzo che ho scritto si cancella interamente col pezzo centrale che ho scritto.
Resta quindi, mettendo insieme il tutto:
$2v^2[(((del^3)/(delx^3)u)u-((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)]+2v[(((del)/(delt)(del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2]$
$=2v^2((del^3)/(delx^3)u)/u-2v^2(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)+2v((del)/(delt)(del)/(delx)u)/u-2v(((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2$
$-(delW)/(delt)=2v[(((del)/(delt)(del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2]$
Poi:
$W(delW)/(delx)=4v^2[(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)^3)/u^3]$
Infine:
$-v((del^2)/(delx^2)W)=2v^2[(((del^3)/(delx^3)u)u-((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)-2(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)^3)/(u^3)]$
Perciò il 2° termine dell'ultimo pezzo che ho scritto si cancella interamente col pezzo centrale che ho scritto.
Resta quindi, mettendo insieme il tutto:
$2v^2[(((del^3)/(delx^3)u)u-((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)]+2v[(((del)/(delt)(del)/(delx)u)u-((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2]$
$=2v^2((del^3)/(delx^3)u)/u-2v^2(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)+2v((del)/(delt)(del)/(delx)u)/u-2v(((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2$
Credo che mi venga un segno diverso da Gac.
Chi avrà ragione?
Chi avrà ragione?
ok grazie,rifaccio il conto ,vi torna che poi esce l'equazione iperbolica?
@misanino: ma anche a me viene come hai scritto tu. Ho scritto diversamente nel post?
Comunque, riordinandola come ha fatto il tuo professore mi esce:
$2v((del)/(delt)(del)/(delx)u)/u-2v(((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2-2v^2(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)+2v^2((del^3)/(delx^3)u)/u$
In poche parole quindi rispetto al tuo professore mi viene diverso il primo termine e il segno del secondo
$2v((del)/(delt)(del)/(delx)u)/u-2v(((del)/(delx)u)((del)/(delt)u))/u^2-2v^2(((del^2)/(delx^2)u)((del)/(delx)u))/(u^2)+2v^2((del^3)/(delx^3)u)/u$
In poche parole quindi rispetto al tuo professore mi viene diverso il primo termine e il segno del secondo
"gac":
@misanino: ma anche a me viene come hai scritto tu. Ho scritto diversamente nel post?
Hai scritto che il primo termine ti viene col segno - , ma può tranquillamente darsi che abbia sbagliato io nel calcolo.
No no, mi viene come a te, sono solo io che sono un po' dissociato quando confronto carta con monitor...
Perfetto allora.
Siamo arrivati alla soluzione!
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