Equazione di Bernoulli
Buongiorno!
Ho appena scoperto di non aver passato (ancora una volta) l'esame di analisi II. L'esercizio complice di questa colpa è uno studio di equazione differenziale, che vi sottopongo in modo da poter imparare meglio. Il testo è il seguente:
(a) Veri care le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale per l'equazione di fferenziale
(1) $y' = -y*logx-y^3 * x^(2x+1)$
In sede d'esame sapevo bene che si trattava di dimostrare, come condizione sufficiente, che la derivata parziale in y della $f(x,y) = -y*logx-y^3 * x^(2x+1)$ fosse continua. Tuttavia tale derivata parziale, $f_y = -logx-3y^2*x^(2x+1)$ È continua? come lo dimostro, senza sapere se y è continua?
(b) Determinare, se esistono, tutte le soluzioni globali di (1).
Cosa significa? Io mi trovo una soluzione al variare di una costante arbitraria nei reali. Essa avrà un dominio entro cui sarà definita. Come stabilisco se una soluzione è globale? Se essa tende, ai confini del dominio, ai confini del codominio?
(c) Esiste una soluzione di (1) asintoticamente stabile?
Questo è forse l'unico punto banale. Se non sbaglio si tratta di dimostrare che tale soluzione è y=, poiché ad essa tendono all'infinito tutte le soluzioni.
Aspetto consigli!
Ho appena scoperto di non aver passato (ancora una volta) l'esame di analisi II. L'esercizio complice di questa colpa è uno studio di equazione differenziale, che vi sottopongo in modo da poter imparare meglio. Il testo è il seguente:
(a) Veri care le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale per l'equazione di fferenziale
(1) $y' = -y*logx-y^3 * x^(2x+1)$
In sede d'esame sapevo bene che si trattava di dimostrare, come condizione sufficiente, che la derivata parziale in y della $f(x,y) = -y*logx-y^3 * x^(2x+1)$ fosse continua. Tuttavia tale derivata parziale, $f_y = -logx-3y^2*x^(2x+1)$ È continua? come lo dimostro, senza sapere se y è continua?
(b) Determinare, se esistono, tutte le soluzioni globali di (1).
Cosa significa? Io mi trovo una soluzione al variare di una costante arbitraria nei reali. Essa avrà un dominio entro cui sarà definita. Come stabilisco se una soluzione è globale? Se essa tende, ai confini del dominio, ai confini del codominio?
(c) Esiste una soluzione di (1) asintoticamente stabile?
Questo è forse l'unico punto banale. Se non sbaglio si tratta di dimostrare che tale soluzione è y=, poiché ad essa tendono all'infinito tutte le soluzioni.
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