Equazione delle onde usando la trasformata di Fourier per la PDE
Salve, ho un problema enorme e non riesco a venirne a capo. Pensavo di averlo risolto e invece scopro che non ci avevo capito nulla. Ricopio la pagina del libro, così potete seguire tutti i passaggi con calma. Il problema principale è all'ultima riga, quindi se siete pratici saltate tutta la pappardella. Grazie dell'aiuto.
Propagazione delle onde lungo una sbarra infinita
$(partial^2 u)/(partial t^2) -a^2(partial^2 u)/(partial x^2) = 0$
$u(x,0)=f(x)$
$(partial u(x,0))/(partial t) =0$
Procediamo per separazione delle variabili $u(x,t)=X(x)T(t)$
$T''+lambda^2a^2T=0$
$X''+lambda^2X=0$
da cui
$T(t)=Acoslambdaat+Bsinlambdaat$
$X(x)=Ccoslambdax+Dsinlambdax$
Derivando rispetto al tempo e facendo uso della terza condizione si trova
$T'(0)=Blambda=0$ da cui $B$=0
Segue che $ u(x,t) $ $ u(x,t) $
$u (pedicelambda)(x,t)=[C(lambda)coslambdax+D(lambda)sinlambdax]coslambdaat$
L'indice $lambda$ non indica la derivazione parziale, ma solo la dipendenza (parametrica) di tale soluzione da $lambda$
PRIMO PROBLEMA: Che fine ha fatto la A, B=0 ma della A non sappiamo nulla, no?
Poi
L'integrale generale può dunque essere espresso come sovrapposizione di tali soluzioni, al variare del parametro continuo $lambda$, ossia
$u(x,t)=int_(0 )^(prop ) ([C(lambda)coslambdax+D(lambda)sinlambdax]coslambdaat)dlambda$
Per t=0, imponendo la condizione iniziale si trova
$u(x,t)=int_(0 )^(prop ) ([C(lambda)coslambdax+D(lambda)sinlambdax]dlambda=f(x)$
Ossia che $C(lambda)$ e $D(lambda)$ sono rispettivamente proporzionali alle trasformate coseno e seno di f:
$C(lambda)=1/piint_(-prop)^(prop) dy f(y)coslambday $
$D(lambda)=1/piint_(-prop)^(prop) dy f(y)sinlambday $
con cui, sostituendo nell'espressione di u(x,t)
$u(x,t)=1/piint_(-prop)^(prop) dyint_(0)^(prop) dlambdaf(y)[coslambdaxcoslambday+sinlambdaxsinlambday]coslambdaat = $
$=1/(2pi)int_(-prop)^(prop) dy int_(0)^(prop) dlambdaf(y)[coslambda(x-y+at)+coslambda(x+y-at)]= $
$=1/2[f(x+at)+f(x-at)]$
[Non so perché metta i vari $dlambda$ e $dy$ davanti anzi che dietro, immagino sia uguale]
Questo ultimissimo passaggio proprio non riesco a capirlo. Il libro mi dice ancora:
"in cui nell'ultimo passaggio s'è fatto uso dell'espressione per l'antitraformata coseno di f(x)." Non capisco i passaggi intermedi, come ha svolto le integrazioni, cosa è l'antitraformata di cosa, come ha ottenuto quel risultato. Vorrei che qualcuno mi scrivesse i passaggi tra la penultima e l'ultima riga, così forse riesco a capire.
PS: il libro illustra tutti i passaggi (io uno lo ho saltato) di formule di Werner, prostaferesi, addizione etc di cui uno studente arrivato ad un certo punto dovrebbe essere già pratico (magari non a ricordarle per forza a memoria, ma almeno a riconoscerle quando le vede) e invece la dove serve qualche passaggio in più essendo un nuovo argomento liquida tutto con una riga.
Propagazione delle onde lungo una sbarra infinita
$(partial^2 u)/(partial t^2) -a^2(partial^2 u)/(partial x^2) = 0$
$u(x,0)=f(x)$
$(partial u(x,0))/(partial t) =0$
Procediamo per separazione delle variabili $u(x,t)=X(x)T(t)$
$T''+lambda^2a^2T=0$
$X''+lambda^2X=0$
da cui
$T(t)=Acoslambdaat+Bsinlambdaat$
$X(x)=Ccoslambdax+Dsinlambdax$
Derivando rispetto al tempo e facendo uso della terza condizione si trova
$T'(0)=Blambda=0$ da cui $B$=0
Segue che $ u(x,t) $ $ u(x,t) $
$u (pedicelambda)(x,t)=[C(lambda)coslambdax+D(lambda)sinlambdax]coslambdaat$
L'indice $lambda$ non indica la derivazione parziale, ma solo la dipendenza (parametrica) di tale soluzione da $lambda$
PRIMO PROBLEMA: Che fine ha fatto la A, B=0 ma della A non sappiamo nulla, no?
Poi
L'integrale generale può dunque essere espresso come sovrapposizione di tali soluzioni, al variare del parametro continuo $lambda$, ossia
$u(x,t)=int_(0 )^(prop ) ([C(lambda)coslambdax+D(lambda)sinlambdax]coslambdaat)dlambda$
Per t=0, imponendo la condizione iniziale si trova
$u(x,t)=int_(0 )^(prop ) ([C(lambda)coslambdax+D(lambda)sinlambdax]dlambda=f(x)$
Ossia che $C(lambda)$ e $D(lambda)$ sono rispettivamente proporzionali alle trasformate coseno e seno di f:
$C(lambda)=1/piint_(-prop)^(prop) dy f(y)coslambday $
$D(lambda)=1/piint_(-prop)^(prop) dy f(y)sinlambday $
con cui, sostituendo nell'espressione di u(x,t)
$u(x,t)=1/piint_(-prop)^(prop) dyint_(0)^(prop) dlambdaf(y)[coslambdaxcoslambday+sinlambdaxsinlambday]coslambdaat = $
$=1/(2pi)int_(-prop)^(prop) dy int_(0)^(prop) dlambdaf(y)[coslambda(x-y+at)+coslambda(x+y-at)]= $
$=1/2[f(x+at)+f(x-at)]$
[Non so perché metta i vari $dlambda$ e $dy$ davanti anzi che dietro, immagino sia uguale]
Questo ultimissimo passaggio proprio non riesco a capirlo. Il libro mi dice ancora:
"in cui nell'ultimo passaggio s'è fatto uso dell'espressione per l'antitraformata coseno di f(x)." Non capisco i passaggi intermedi, come ha svolto le integrazioni, cosa è l'antitraformata di cosa, come ha ottenuto quel risultato. Vorrei che qualcuno mi scrivesse i passaggi tra la penultima e l'ultima riga, così forse riesco a capire.
PS: il libro illustra tutti i passaggi (io uno lo ho saltato) di formule di Werner, prostaferesi, addizione etc di cui uno studente arrivato ad un certo punto dovrebbe essere già pratico (magari non a ricordarle per forza a memoria, ma almeno a riconoscerle quando le vede) e invece la dove serve qualche passaggio in più essendo un nuovo argomento liquida tutto con una riga.
Risposte
Se ti sembra che il libro non sia chiaro su questo argomento prova a consultarne un altro. Non dico di "cambiare libro", ma solo di guardarti intorno per vedere se trovi qualcuno che ti spiega meglio ciò che ti serve. Ad esempio io proverei a dare un occhio a "Partial Differential Equations in action, from modelling to theory" di Sandro Salsa, capitolo 5. Lo puoi trovare facilmente in biblioteca o anche in pdf su internet.
Comunque, a parte questo e riguardo le tue domande:
1) Che fine ha fatto la \(A\)? Nota che nella formula per \(u_\lambda\) (NB il pedice si fa con un underscore "_": \$u_\lambda\$), ci sono già due costanti \(C(\lambda)\) e \(D(\lambda)\), la \(A(\lambda)\) è stata semplicemente assorbita in quelle. E poi, tieni presente che a questo stadio stai semplicemente cercando delle soluzioni esplicite, non ti stai ancora preoccupando di trovare tutte le soluzioni. Queste soluzioni esplicite ti serviranno da mattoni per costruire soluzioni più generali dopo. Quindi anche se dovessi perdere qualche soluzione, potrebbe non esserci problema. L'importante è che dopo tu riesca a costruire una soluzione sufficientemente generale.
2) Quello di mettere i \(dx\) al principio degli integrali è un vezzo dei fisici. A volte effettivamente è un po' più comodo quando uno deve cambiare l'ordine di integrazione. Ma sono differenze proprio minime, non ti stare a preoccupare di questi dettagli insignificanti.
3) Se hai riportato fedelmente il passaggio allora devo ammettere che è piuttosto oscuro. La trasformata coseno poi non è una cosa che si usa tanto di solito (IMHO), quindi mi trovo spaesato pure io. Ti scrivo come lo farei io usando la forma con esponenziali complessi della trasformata di Fourier
\[
\hat{g}(\lambda)=\int_{\mathbb{R}} g(x) e^{-ix\lambda}\, dx, \]
la cui inversa è
\[
\check{h}(x)=\int_{\mathbb{R}} h(\lambda) e^{ix\lambda}\frac{d\lambda}{2\pi}.\]
Dopo la separazione delle variabili, avrei scritto la famiglia \(u_\lambda\) in questa forma:
\[
u_\lambda(t, x)=\cos(a\lambda t) \cdot \Big( C(\lambda) e^{i\lambda x}\Big).\]
Occhio che questa funzione ha valori complessi, ma cambia poco, è comunque una soluzione dell'equazione assegnata e verifica anche la condizione iniziale. Anche \(C(\lambda)\) è ora una costante complessa. Nota che qui c'è una costante sola e non due, ma tutto torna visto che si tratta di una costante complessa. Un'altra piccola differenza è che ora \(\lambda\) deve assumere anche valori negativi, perché \(e^{i\lambda x}\) non è né pari né dispari in \(\lambda\), a differenza di seni e coseni. Sovrapponendo otteniamo la soluzione
\[
u(t, x)=\int_{-\infty}^\infty C(\lambda) e^{i\lambda x }\cos(a\lambda t)\, d\lambda\]
Imponendo che \(u(0, x)=f(x)\), e scrivendo
\[
f(x)=\check{\hat{f}}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\lambda) e^{i\lambda x}\, \frac{d\lambda}{2\pi}, \]
otteniamo che \(C(\lambda)=\frac{1}{2\pi} \hat{f}(\lambda)\). Ritornando alla formula per \(u\), abbiamo allora che
\[
u(t, x)= \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\lambda) e^{i\lambda x} \cos (a\lambda t)\, \frac{d\lambda}{2\pi},\]
e scrivendo \(\cos(a\lambda t)=\frac{e^{ia\lambda t}+e^{-ia\lambda t}}{2}\), ricaviamo
\[
u(t,x)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\lambda)e^{i \lambda(x+at)}\frac{d\lambda}{2\pi} + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\lambda)e^{i \lambda(x-at)}\frac{d\lambda}{2\pi}.\]
Gli ultimi due addendi sono le antitrasformate della trasformata di \(f\) calcolate in \(x+at\) e in \(x-at\) rispettivamente. E perciò possiamo concludere che
\[u(t, x)=\frac{1}{2}(f(x+at)+f(x-at)).\]
Il tuo libro ha fatto esattamente questo lavoro ma non ha voluto introdurre gli esponenziali complessi, e ha quindi dovuto ricorrere alle trasformate seno e coseno. Non c'è niente di concettualmente diverso, ma occorre usare un altro set di formule per le trasformate e per le trasformate inverse. Personalmente credo che la dimostrazione sia più chiara con la notazione complessa, che difatti è largamente in uso.
Comunque, a parte questo e riguardo le tue domande:
1) Che fine ha fatto la \(A\)? Nota che nella formula per \(u_\lambda\) (NB il pedice si fa con un underscore "_": \$u_\lambda\$), ci sono già due costanti \(C(\lambda)\) e \(D(\lambda)\), la \(A(\lambda)\) è stata semplicemente assorbita in quelle. E poi, tieni presente che a questo stadio stai semplicemente cercando delle soluzioni esplicite, non ti stai ancora preoccupando di trovare tutte le soluzioni. Queste soluzioni esplicite ti serviranno da mattoni per costruire soluzioni più generali dopo. Quindi anche se dovessi perdere qualche soluzione, potrebbe non esserci problema. L'importante è che dopo tu riesca a costruire una soluzione sufficientemente generale.
2) Quello di mettere i \(dx\) al principio degli integrali è un vezzo dei fisici. A volte effettivamente è un po' più comodo quando uno deve cambiare l'ordine di integrazione. Ma sono differenze proprio minime, non ti stare a preoccupare di questi dettagli insignificanti.
3) Se hai riportato fedelmente il passaggio allora devo ammettere che è piuttosto oscuro. La trasformata coseno poi non è una cosa che si usa tanto di solito (IMHO), quindi mi trovo spaesato pure io. Ti scrivo come lo farei io usando la forma con esponenziali complessi della trasformata di Fourier
\[
\hat{g}(\lambda)=\int_{\mathbb{R}} g(x) e^{-ix\lambda}\, dx, \]
la cui inversa è
\[
\check{h}(x)=\int_{\mathbb{R}} h(\lambda) e^{ix\lambda}\frac{d\lambda}{2\pi}.\]
Dopo la separazione delle variabili, avrei scritto la famiglia \(u_\lambda\) in questa forma:
\[
u_\lambda(t, x)=\cos(a\lambda t) \cdot \Big( C(\lambda) e^{i\lambda x}\Big).\]
Occhio che questa funzione ha valori complessi, ma cambia poco, è comunque una soluzione dell'equazione assegnata e verifica anche la condizione iniziale. Anche \(C(\lambda)\) è ora una costante complessa. Nota che qui c'è una costante sola e non due, ma tutto torna visto che si tratta di una costante complessa. Un'altra piccola differenza è che ora \(\lambda\) deve assumere anche valori negativi, perché \(e^{i\lambda x}\) non è né pari né dispari in \(\lambda\), a differenza di seni e coseni. Sovrapponendo otteniamo la soluzione
\[
u(t, x)=\int_{-\infty}^\infty C(\lambda) e^{i\lambda x }\cos(a\lambda t)\, d\lambda\]
Imponendo che \(u(0, x)=f(x)\), e scrivendo
\[
f(x)=\check{\hat{f}}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\lambda) e^{i\lambda x}\, \frac{d\lambda}{2\pi}, \]
otteniamo che \(C(\lambda)=\frac{1}{2\pi} \hat{f}(\lambda)\). Ritornando alla formula per \(u\), abbiamo allora che
\[
u(t, x)= \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\lambda) e^{i\lambda x} \cos (a\lambda t)\, \frac{d\lambda}{2\pi},\]
e scrivendo \(\cos(a\lambda t)=\frac{e^{ia\lambda t}+e^{-ia\lambda t}}{2}\), ricaviamo
\[
u(t,x)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\lambda)e^{i \lambda(x+at)}\frac{d\lambda}{2\pi} + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\lambda)e^{i \lambda(x-at)}\frac{d\lambda}{2\pi}.\]
Gli ultimi due addendi sono le antitrasformate della trasformata di \(f\) calcolate in \(x+at\) e in \(x-at\) rispettivamente. E perciò possiamo concludere che
\[u(t, x)=\frac{1}{2}(f(x+at)+f(x-at)).\]
Il tuo libro ha fatto esattamente questo lavoro ma non ha voluto introdurre gli esponenziali complessi, e ha quindi dovuto ricorrere alle trasformate seno e coseno. Non c'è niente di concettualmente diverso, ma occorre usare un altro set di formule per le trasformate e per le trasformate inverse. Personalmente credo che la dimostrazione sia più chiara con la notazione complessa, che difatti è largamente in uso.
Grazie mille, molto chiaro e soprattutto molto semplice. Il libro in questione è "Angilella-esercizi di metodi matematici della fisica", ma è più teoria-esempi che esercizi comunque. Di solito studio dal Rossetti ma questa parte non c'è.
Ti chiedo un'altra cosa. Se avessi avuto le condizioni $u(x,0)=f(x)$ senza nessuna condizione sulla derivata prima rispetto al tempo ma con una condizione $u(x,t)=u(x,-t)$ sarebbe stato lo stesso vero? Perché mi sta dicendo che è pari rispetto al tempo e quindi (contando di prendere due esponenziali complessi come soluzione) mantengo in uno, quello con argomento $(alambdat)$, solo la parte coseno. Sto dicendo bene? Voglio dire, è solo un altro modo per esprimere lo stesso problema?
Ti chiedo un'altra cosa. Se avessi avuto le condizioni $u(x,0)=f(x)$ senza nessuna condizione sulla derivata prima rispetto al tempo ma con una condizione $u(x,t)=u(x,-t)$ sarebbe stato lo stesso vero? Perché mi sta dicendo che è pari rispetto al tempo e quindi (contando di prendere due esponenziali complessi come soluzione) mantengo in uno, quello con argomento $(alambdat)$, solo la parte coseno. Sto dicendo bene? Voglio dire, è solo un altro modo per esprimere lo stesso problema?
Si in effetti è proprio un altro modo di dire la stessa cosa.
Salve ragazzi, so di fare un repost un po' old, ma sono in difficoltà proprio con lo stesso argomento, e (quasi) sullo stesso punto. Mi sembrava inutile aprire un altro thread, e perciò rispondo a questo. (Nel caso non dovesse essere coerente, creo un nuovo topic).
Studiando questo argomento da Barozzi, Metodi matematici per l'Ingegneria e dai miei appunti presi al corso, ho delle perplessità.
In particolare, dopo aver trovato la seguente soluzione per sovrapposizione:
$u_(x,t) =sum_{k=1} (A_n cos(lambda_nt) +B_n sin(lambda_nt))sin(omega_nx) $
e imponendo la condizione iniziale $u_(x,0) = f(x)$ si deduce che
$f(x)= sum_{k=1} A_n sin(omega_nx)$
Dunque, si deduce che f(x) è una funzione dispari, che si può leggere come il prolungamento per disparità in $(-L,L)$di una funzione definita in $(0,L)$.
Il mio dubbio riguarda la 'dimostrazione' del perché una funzione dispari non ha coefficienti in coseno nella trasformata di Fourier. Mi rendo conto che, empiricamente e intuitavamente, se f(T)= f(-T) e cos(T)=cos(-T) allora sia nulla.
Ma come si deduce questo analiticamente dalla formula dei $C_k$ espressi come integrali sul periodo?
E ritrovo questa proprietà procedendo nel calcolo di $A_n$ (riporto i passaggi):
$C_k = 1/2L int_-L^Lf(x)e^(-iomega_nx)dx = -i/2L int_-L^Lf(x)sin(omega_nx)dx$
Essendo la funzione interna all'integrale pari,
$C_k= -i/k int_-0^Lf(x)sin(iomega_nx)dx $
$A_n=-2Im(C_n)$
Come mai $int_-L^Lf(x)cos(omega_nx)dx$ è nullo?
Grazie dell'attenzione
Studiando questo argomento da Barozzi, Metodi matematici per l'Ingegneria e dai miei appunti presi al corso, ho delle perplessità.
In particolare, dopo aver trovato la seguente soluzione per sovrapposizione:
$u_(x,t) =sum_{k=1} (A_n cos(lambda_nt) +B_n sin(lambda_nt))sin(omega_nx) $
e imponendo la condizione iniziale $u_(x,0) = f(x)$ si deduce che
$f(x)= sum_{k=1} A_n sin(omega_nx)$
Dunque, si deduce che f(x) è una funzione dispari, che si può leggere come il prolungamento per disparità in $(-L,L)$di una funzione definita in $(0,L)$.
Il mio dubbio riguarda la 'dimostrazione' del perché una funzione dispari non ha coefficienti in coseno nella trasformata di Fourier. Mi rendo conto che, empiricamente e intuitavamente, se f(T)= f(-T) e cos(T)=cos(-T) allora sia nulla.
Ma come si deduce questo analiticamente dalla formula dei $C_k$ espressi come integrali sul periodo?
E ritrovo questa proprietà procedendo nel calcolo di $A_n$ (riporto i passaggi):
$C_k = 1/2L int_-L^Lf(x)e^(-iomega_nx)dx = -i/2L int_-L^Lf(x)sin(omega_nx)dx$
Essendo la funzione interna all'integrale pari,
$C_k= -i/k int_-0^Lf(x)sin(iomega_nx)dx $
$A_n=-2Im(C_n)$
Come mai $int_-L^Lf(x)cos(omega_nx)dx$ è nullo?
Grazie dell'attenzione
Perché è l'integrale di una funzione dispari. Quando hai questi dubbi, scrivi
\[
I=\int_{-L}^L f(x)\cos(\omega x)\, dx.
\]
Cambia variabile: \(x=-x'\). Fai il conticino e trovi che \(I=-I\). E quindi \(I=0\).
\[
I=\int_{-L}^L f(x)\cos(\omega x)\, dx.
\]
Cambia variabile: \(x=-x'\). Fai il conticino e trovi che \(I=-I\). E quindi \(I=0\).
Grazie mille! Ora mi è chiaro, anche pensando intuitivamente all'integrale come area sottesa
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