Equazione delle onde e stima dell'energia
Salve a tutti ragazzi innanzitutto mi complimento per il forum: sono qua per chiedervi un grande aiuto. Come si dimostra la stima dell'energia per l'equazione delle onde? è un metodo che il mio professore usa per dimostrare l'unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirchelet, in pratica si parte da quest'espressione : \(\displaystyle \int\int e^tL(u) u'(rispetto a t)dxdt\) . L'integrale doppio è esteso ad omega h dove omega h è la striscia ]o;a[ x \(\displaystyle R\) ed L è l'operatore in due variabili \(\displaystyle L = D^2 tt - kD^2 xx \) derivata seconda rispetto a t e rispetto a x, e k>0 (scusate se non so ancora usare bene i simboli su questo forum). Partendo da qui dovrei dimostrare che questa cosa è uguale a : \(\displaystyle ||u||^2 \leq k1||f||^2 +k2||g'1||^2+k3||g2||^2\). Il mio prof ha promesso un voto in più all'esame a chi dimostra questa cosa che lui non ha fatto, aiutatemi !!
Risposte
piccolo up, nessuno proprio che mi sa aiutare?
Hai provato a guardare se questa cosa è dimostrata sul libro di Evans?
"gugo82":
Hai provato a guardare se questa cosa è dimostrata sul libro di Evans?
è reperibile on line? mi servirebbe urgentemente questa dimostrazione prima dell'esame :S
piccolo up!!! non sta su nessun libro ed è urgente.Mi salvate un esame...Vi sarei grato se mi rispondeste al più presto...
Giusto un chiarimento.
Da quanto scrivi mi pare di capire che la tua \(u(t,x)\) è soluzione di un problema al contorno per l'equazione delle onde \(u_{tt}=k\ u_{xx}\) e che \(f,g_1,g_2\) dovrebbero essere i dati iniziali; tuttavia non si comprende quale è effettivamente il problema...
Insomma le cose che dovresti chiarire sono queste:
Da quanto scrivi mi pare di capire che la tua \(u(t,x)\) è soluzione di un problema al contorno per l'equazione delle onde \(u_{tt}=k\ u_{xx}\) e che \(f,g_1,g_2\) dovrebbero essere i dati iniziali; tuttavia non si comprende quale è effettivamente il problema...
Insomma le cose che dovresti chiarire sono queste:
[*:3l5e20s8] in che insieme variano \((t,x)\)?
Sei sicura che \((t,x)\in ]0,A[\times \mathbb{R}\) oppure in \((t,x)\in \mathbb{R}\times ]0,A[\)?
(In altre parole, è la coordinata spaziale \(x\) o la coordinata temporale \(t\) a "vivere" in \(\mathbb{R}\)?)
[/*:m:3l5e20s8]
[*:3l5e20s8] come sono assegnati i dati iniziali \(f,g_1,g_2\)?
Se l'insieme in cui vale la tua PDE è davvero una striscia limitata in una direzione ma non limitata da nessuno dei due lati nell'altra, mi sembra ci sia un dato iniziale di troppo (fondamentalmente perché una striscia del tipo \(]0,A[\times \mathbb{R}\) o \(\mathbb{R}\times ]0,A[\) ha il bordo costituito da due linee, ergo puoi assegnare solo due condizioni al bordo, non tre).
[/*:m:3l5e20s8]
[*:3l5e20s8] viste le difficoltà dei punti precedenti mi viene il dubbio: non è che l'insieme di validità della PDE è una striscia del tipo \((t,x)\in ]0,\infty[\times ]0,A[\)? E non è forse che le condizioni al bordo sono:
\[
\begin{cases}
u(0,x)=f(x)\\
u(t,0)=g_1(t)\\
u(t,A)=g_2(t)
\end{cases}\quad \text{?}
\][/*:m:3l5e20s8][/list:u:3l5e20s8]
Chiariti questi punti, un volenteroso si potrebbe anche mettere a fare due conti; ma se non si conosce bene il problema legato alla PDE è del tutto inutile anche iniziare a mettere penna su carta (purtroppo il mondo delle PDE è così...).
Ah, un'ultima nota di carattere linguistico... Dire che quell'integrale "è uguale" alla stima dell'energia è del tutto sbagliato; al massimo puoi dire che dall'integrale si trae (sicuramente in maniera non troppo diretta, aggiungo io) la stima dell'energia.
P.S.: Che libro o che dispense adottate per il corso?
si scusami sono stato molto impreciso, il problema di Cauchy-Dirchelet è il seguente
\(\displaystyle Lu=f\) in omega
\(\displaystyle u(x,0)=g1(x)\)
\(\displaystyle du(x,0)/dt=g2(x)\)
\(\displaystyle u(0,t)=u(a,t)=0\) condizioni del Dirchelet
f € C^1 (in omega) , g1 e g2 € C^1 ([0;T/2]) = ([0;A])
P.s. : Usiamo gli appunti del nostro professore
\(\displaystyle Lu=f\) in omega
\(\displaystyle u(x,0)=g1(x)\)
\(\displaystyle du(x,0)/dt=g2(x)\)
\(\displaystyle u(0,t)=u(a,t)=0\) condizioni del Dirchelet
f € C^1 (in omega) , g1 e g2 € C^1 ([0;T/2]) = ([0;A])
P.s. : Usiamo gli appunti del nostro professore
Qui e nel seguito probabilmente adopererò notazioni un po' diverse dalle tue.
Se ho capito bene il tuo problema è:
\[
\begin{cases}
u_{tt}-\nu^2\ u_{xx}=f &\text{, in } ]0,A[_T :=]0,A[\times ]0,T[\\
u=0 &\text{, su } \{0,A\}\times [0,T]\\
u =g_1,\ u_t =g_2 &\text{, su } [0,A]\times \{0\}\\
\end{cases}
\]
con \(\nu,A,T>0\) ed \(f,g_1,g_2\) sufficientemente "buone" e soddisfacenti qualche condizione di compatibilità, in modo che ogni soluzione \(u\) del problema sia una soluzione classica (cioè di classe \(C^2(]0,A[_T)\) continua fin sul bordo).
Ora, rimane da capire che stima ti serve e come la si deve ricavare... Ovviamente, visto che non mi segnali se è possibile reperire le dispense che usi in rete*, mi devi dare una mano a ricostruire il contesto fornendo tutte le informazioni utili in maniera precisa.
La stima è possibile cercarla1 di due tipi: o "parametrica", nel senso che per fissato \(t\in ]0,T[\) si stima la norma \(\lVert u(\cdot ,t)\rVert_{2,]0,A[}^2\) della funzione \(]0,A[\ni x\mapsto u(x,t)\in \mathbb{R}\) (della sola variabile spaziale) in termini di \(\lVert f(\cdot ,t)\rVert_{2,]0,A[}^2\), \(\lVert g_1 \rVert_{2,]0,A[}^2\) e \(\lVert g_2 \rVert_{2,]0,A[}^2\); oppure "globale", nel senso che si stima la norma \(\lVert u\rVert_{2,]0,A[_T}^2\) (di "tutta" la funzione \(u\)) in termini di \(\lVert f\rVert_{2,]0,A[_T}^2\), \(\lVert g_1 \rVert_{2,]0,A[}^2\) e \(\lVert g_2 \rVert_{2,]0,A[}^2\).
A te quale tipo serve?
Poi, se non ho interpretato male, dici di voler partire da un integrale del tipo:
\[
\int_0^A \int_0^T e^t\ [u_{tt}(x,t)-\nu^2\ u_{xx}(x,t)]\ u_t(x,t)\ \text{d} x\text{d} t\; ,
\]
tuttavia non ci vedo chiaro... Da dove esce quell'esponenziale? E siamo sicuri che gli integrali siano con gli estremi fissi?
Cosa vi ha detto il docente di preciso? Vi ha dato delle indicazioni da seguire per ricostruire la dimostrazione?
Inoltre, le stime "parametriche" per l'equazione delle onde si ottengono (di solito) giocando un po' col lemma di Gronwall: il prof. ve lo ha richiamato, o ne ha fatto a meno?
__________
* [size=85]Se le dispense sono reperibili in rete, segnalale; così non ci perdiamo altro tempo.[/size]
Se ho capito bene il tuo problema è:
\[
\begin{cases}
u_{tt}-\nu^2\ u_{xx}=f &\text{, in } ]0,A[_T :=]0,A[\times ]0,T[\\
u=0 &\text{, su } \{0,A\}\times [0,T]\\
u =g_1,\ u_t =g_2 &\text{, su } [0,A]\times \{0\}\\
\end{cases}
\]
con \(\nu,A,T>0\) ed \(f,g_1,g_2\) sufficientemente "buone" e soddisfacenti qualche condizione di compatibilità, in modo che ogni soluzione \(u\) del problema sia una soluzione classica (cioè di classe \(C^2(]0,A[_T)\) continua fin sul bordo).
Ora, rimane da capire che stima ti serve e come la si deve ricavare... Ovviamente, visto che non mi segnali se è possibile reperire le dispense che usi in rete*, mi devi dare una mano a ricostruire il contesto fornendo tutte le informazioni utili in maniera precisa.
La stima è possibile cercarla1 di due tipi: o "parametrica", nel senso che per fissato \(t\in ]0,T[\) si stima la norma \(\lVert u(\cdot ,t)\rVert_{2,]0,A[}^2\) della funzione \(]0,A[\ni x\mapsto u(x,t)\in \mathbb{R}\) (della sola variabile spaziale) in termini di \(\lVert f(\cdot ,t)\rVert_{2,]0,A[}^2\), \(\lVert g_1 \rVert_{2,]0,A[}^2\) e \(\lVert g_2 \rVert_{2,]0,A[}^2\); oppure "globale", nel senso che si stima la norma \(\lVert u\rVert_{2,]0,A[_T}^2\) (di "tutta" la funzione \(u\)) in termini di \(\lVert f\rVert_{2,]0,A[_T}^2\), \(\lVert g_1 \rVert_{2,]0,A[}^2\) e \(\lVert g_2 \rVert_{2,]0,A[}^2\).
A te quale tipo serve?
Poi, se non ho interpretato male, dici di voler partire da un integrale del tipo:
\[
\int_0^A \int_0^T e^t\ [u_{tt}(x,t)-\nu^2\ u_{xx}(x,t)]\ u_t(x,t)\ \text{d} x\text{d} t\; ,
\]
tuttavia non ci vedo chiaro... Da dove esce quell'esponenziale? E siamo sicuri che gli integrali siano con gli estremi fissi?
Cosa vi ha detto il docente di preciso? Vi ha dato delle indicazioni da seguire per ricostruire la dimostrazione?
Inoltre, le stime "parametriche" per l'equazione delle onde si ottengono (di solito) giocando un po' col lemma di Gronwall: il prof. ve lo ha richiamato, o ne ha fatto a meno?
__________
* [size=85]Se le dispense sono reperibili in rete, segnalale; così non ci perdiamo altro tempo.[/size]
grazie dell'interessamento e perdonami per la poca precisione! ad ogni modo al posto di v^2 io ho k, le dispense del prof purtroppo non sono reperibili on line. Quell'integrale da cui dovrei partire e di cui non ci vedi chiaro se non sbaglio è ricavato usando formule di Green o Gauss-Green non ricordo bene, (non sono uno studente di matematica ma di ingegneria penso che si sia capito, purtroppo questa parte delle PDE è l'ultima parte del corso e il prof non si è potuto soffermare molto). La stima deve essere globale da quanto ho capito dalla sua spiegazione
piccolo up 
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