Equazione delle onde e sovrapposizione effetti
Ciao!studiando le vibrazioni LIBERE trasversali di una corda bloccata agli estremi abbiamo usato l'equazione iperbolica delle onde.La soluzione si ottiene per separazione di variabili,in cui parte spaziale e temporale si dividono e se ne fa il prodotto..alla fine di tutto si ottiene la soluzione come sommatoria per k da 1 a infinito del prodotto delle funzioni ottenute dal problema spaziale e temporale,indicizzate appunto da k. Il mio dubbio è:perché ? Cioè il motivo è questo? :
L'equazione è lineare e omogenea (vib. Libere).
Vedendo l'operatore differenziale lineare ( L )come una applicazione.lineare tra 2 spazi di funzioni posso scrivere L (u)=0 con u generica soluzione. Ora se ad esempio k=1(primo modo) ho L(u1)=0
Per k=2 ho L(u2)=0 ...quindi dalla linearità se agiscono più modi insieme ho: L(u1+u2)=L(u1)+L(u2)=0+0=0...ovvero la combinazione lineare è ancora soluzione,quindi agendo infiniti modi faccio la sommatoria! È giusta questa visione della cosa? Grazie
L'equazione è lineare e omogenea (vib. Libere).
Vedendo l'operatore differenziale lineare ( L )come una applicazione.lineare tra 2 spazi di funzioni posso scrivere L (u)=0 con u generica soluzione. Ora se ad esempio k=1(primo modo) ho L(u1)=0
Per k=2 ho L(u2)=0 ...quindi dalla linearità se agiscono più modi insieme ho: L(u1+u2)=L(u1)+L(u2)=0+0=0...ovvero la combinazione lineare è ancora soluzione,quindi agendo infiniti modi faccio la sommatoria! È giusta questa visione della cosa? Grazie
Risposte
Non capisco cosa ti interessi sapere... Perchè la soluzione si ottiene come sommatoria o perchè si cercano soluzioni a variabili separate?
grazie di aver risposto!mi interessa sapere perché si ottengono per sovrapposizione..va bene come penso io? Cioè come ho riportato nel messaggio..?
L'idea è certamente quella... Infatti sin dalla teoria delle EDO sei abituato a trovare gli "integrali generali" sovrapponendo effetti grazie alla linearità.
Quello che cambia, nel passaggio dalle EDO alle EDP, è che non hai più solo un numero finito di soluzioni indipendenti di una equazione differenziale omogenea, ma ne hai un'infinità (numerabile, nei casi interessanti).
Quindi anziché limitarti a considerare combinazioni lineari (finite!) di soluzioni, puoi considerare serie di funzioni ogni addendo delle quali è (un multiplo di) una soluzione della EDP omogenea... Se tale serie converge "bene", allora la sua somma fornisce ancora una soluzione della EDP omogenea.
Quello che cambia, nel passaggio dalle EDO alle EDP, è che non hai più solo un numero finito di soluzioni indipendenti di una equazione differenziale omogenea, ma ne hai un'infinità (numerabile, nei casi interessanti).
Quindi anziché limitarti a considerare combinazioni lineari (finite!) di soluzioni, puoi considerare serie di funzioni ogni addendo delle quali è (un multiplo di) una soluzione della EDP omogenea... Se tale serie converge "bene", allora la sua somma fornisce ancora una soluzione della EDP omogenea.
Grazie mille!:) ci sono!
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