Equazione delle onde e condizioni al bordo
Salve a tutti!
Consideriamo l'equazione delle onde $u_{t t}-v^2u_{x x}=0$ ($v\in \mathbb{R}$ è la velocità di propagazione dell'onda), ove $u(t,x)$ è una funzione di classe $C^2$ sull'intervallo $[x_1,x_2]$ e $u_{x x}$, $u_{t t}$ sono le derivate seconde (rispetto a $x$ due volte, rispetto a $t$ due volte). Le condizioni al bordo di Robin sono $\alpha_i u(x_i,t)+u_x(x_i,t)=0$ per $i=1,2$, ove $\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}$.
Il mio problema è dimostrare che se le condizioni al bordo sono di Robin, allora si conserva l'energia, il che avviene se e solo se $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$. In pratica dovrei dimostrare che, se valgono le condizioni di Robin, vale
$u_t(x_2,t)u_x(x_2,t)-u_t(x_1,t)u_x(x_1,t)=0$.
Grazie!
Consideriamo l'equazione delle onde $u_{t t}-v^2u_{x x}=0$ ($v\in \mathbb{R}$ è la velocità di propagazione dell'onda), ove $u(t,x)$ è una funzione di classe $C^2$ sull'intervallo $[x_1,x_2]$ e $u_{x x}$, $u_{t t}$ sono le derivate seconde (rispetto a $x$ due volte, rispetto a $t$ due volte). Le condizioni al bordo di Robin sono $\alpha_i u(x_i,t)+u_x(x_i,t)=0$ per $i=1,2$, ove $\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}$.
Il mio problema è dimostrare che se le condizioni al bordo sono di Robin, allora si conserva l'energia, il che avviene se e solo se $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$. In pratica dovrei dimostrare che, se valgono le condizioni di Robin, vale
$u_t(x_2,t)u_x(x_2,t)-u_t(x_1,t)u_x(x_1,t)=0$.
Grazie!
Risposte
Penso che il trucco sia sempre il solito: moltiplicare per qualcosa (la soluzione o qualche sua derivata) e integrare per parti.
La ringrazio della risposta.
Per affermare che l'energia si conserva se e solo se $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$ ho appunto moltiplicato l'equazione delle onde per $u_t$, ottenendo $u_{t t} u_t-v^2 u_{x x}u_t=0$. Manipolando un po' le derivate si ottiene $\frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2}u_t^2+\frac{1}{2}v^2u_x^2)-v^2\frac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)=0$, da cui, integrando tra $x_1$ e $x_2$, $\frac{d}{d t} \int_{x_1}^{x_2} (\frac{1}{2}u_t^2+\frac{1}{2}v^2u_x^2)dx=v^2[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}$. Dunque l'energia (che è l'argomento della derivata rispetto al tempo, che compare a primo membro), si conserva sse $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$.
Questo in generale; ma come dimostrare, nel caso delle condizioni di Robin, che in effetti $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$?
Per affermare che l'energia si conserva se e solo se $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$ ho appunto moltiplicato l'equazione delle onde per $u_t$, ottenendo $u_{t t} u_t-v^2 u_{x x}u_t=0$. Manipolando un po' le derivate si ottiene $\frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2}u_t^2+\frac{1}{2}v^2u_x^2)-v^2\frac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)=0$, da cui, integrando tra $x_1$ e $x_2$, $\frac{d}{d t} \int_{x_1}^{x_2} (\frac{1}{2}u_t^2+\frac{1}{2}v^2u_x^2)dx=v^2[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}$. Dunque l'energia (che è l'argomento della derivata rispetto al tempo, che compare a primo membro), si conserva sse $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$.
Questo in generale; ma come dimostrare, nel caso delle condizioni di Robin, che in effetti $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}=0$?
Devi usare il fatto che $u_x(x_i,t)=-\alpha_i u(x_i,t)$ e vedere come manipolare $[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}$.
Infatti è quello che avevo provato a fare ma senza i risultati sperati 
Siccome $u_x(x_i,t)=-\alpha_i u(x_i,t)$ (e quindi vale anche $u_{x t}(x_i,t)=-\alpha_i u_t(x_i,t)$), abbiamo
$[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}$
$=u_t(x_2,t)u_x(x_2,t)-u_t(x_1,t)u_x(x_1,t)$
$=-\alpha_2 u_t(x_2,t)u(x_2,t)+\alpha_1u_t(x_1,t)u(x_1,t) $
$=u_{x t}(x_2,t)u(x_2,t)-u_{x t}(x_1,t)u(x_1,t)$
$=[u_{x t}u]_{x_1}^{x_2}$
Ma ora?
Siccome $u_x(x_i,t)=-\alpha_i u(x_i,t)$ (e quindi vale anche $u_{x t}(x_i,t)=-\alpha_i u_t(x_i,t)$), abbiamo
$[u_t u_x]_{x_1}^{x_2}$
$=u_t(x_2,t)u_x(x_2,t)-u_t(x_1,t)u_x(x_1,t)$
$=-\alpha_2 u_t(x_2,t)u(x_2,t)+\alpha_1u_t(x_1,t)u(x_1,t) $
$=u_{x t}(x_2,t)u(x_2,t)-u_{x t}(x_1,t)u(x_1,t)$
$=[u_{x t}u]_{x_1}^{x_2}$
Ma ora?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo