Equazione del tipo: $x^x=c$

[indovina]

Come si può risolvere una equazione del tipo:

$x^x=c$

io avevo pensato di fare:

$x*log(x)=log(c)$

ma non arrivo da nessuna parte.

Cosa fare per risolverla?

[blackbishop13]

è un casino.
non credo ci sia un metodo standard, tra l'altro se introduci il logaritmo devi assicurarti di non perdere soluzioni, tipo:

$(-2)^(-2)=1/4$ che con il logaritmo non funziona, perchè non esiste $log(-2)$.

perchè questo problema?

[indovina]

"blackbishop13":è un casino.
non credo ci sia un metodo standard, tra l'altro se introduci il logaritmo devi assicurarti di non perdere soluzioni, tipo:

$(-2)^(-2)=1/4$ che con il logaritmo non funziona, perchè non esiste $log(-2)$.

perchè questo problema?

dunque non vi è un modo per risolverlo?

[blackbishop13]

Se vogliamo fare qualcosa dobbiamo innanzitutto limitarci alle x positive.
poi osserviamo che $lim_(x to 0^+) x^x=1$
poi studiamo la funzione $x^x$, per trovare la derivata sfruttiamo $x^x=e^(xlnx)$

la derivata è $x^x * (lnx + 1)$ direi.
trovi il punto dove la derivata si annulla, ovvero tale che $lnx=-1$, quindi $1/e$

allora si trova che in $(0,1/e)$ la funzione è decrescente, in $1/e$ ha il punto di minimo, e dopo è crescente.

allora $(1/e)^(1/e)$ è il più piccolo valore che $x^x$ può assumere.
le conclusioni quindi sono che $x^x=c$ :
non ha soluzione se $c<(1/e)^(1/e)$
ha due soluzioni se $(1/e)^(1/e) ha una sola soluzione se $c>1$ o $c=(1/e)^(1/e)$

ma dire quale sia la soluzione in generale...boh!