Equazione del piano 2

[mery3000]

Scrivere l'equazione di due rette passanti per il punto P(-3,1,2) e rispettivamente parallela e perpendicolare al piano di equazione : 2x-y+z+3=0

[ciampax]

L'equazione parametrica della retta generica assante per il punto dato è

[math]r:\ \left\{\begin{array}{l}
x=-3+at\\ y=1+bt\\ z=2+ct
\end{array}\right.[/math]

dove

[math]v=(a,b,c)[/math]

è il vettore direzione della retta. Il vettore normale al piano del problema è

[math]N=(2,-1,1)[/math]

per cui abbiamo che

1)

[math]r[/math]

è parallela al piano se e solo se il suo vettore direzione è perpendicolare al vettore normale

[math]N[/math]

e quindi se e solo se

[math]2a-b+c=0\ \Rightarrow\ b=2a+c[/math]

Osserva che hai infinite scelte possibili che dipendono da due parametri: questo perché una qualsiasi retta che si trovi su un piano parallelo a quello dato passante per P soddisfa la richiesta (ed essendo le rette su di un piano infinite e determinate da 2 parametri, ecco perché questa cosa).

2)

[math]r[/math]

è perpendicolare al piano se e solo se il suo vettore direzione è parallelo alla normale del piano: quindi puoi sceglire

[math]v=N[/math]

da cui

[math]r:\ \left\{\begin{array}{l}
x=-3+2t\\ y=1-t\\ z=2+t
\end{array}\right.[/math]