Equazione del piano
Ho questo esercizio che non riesco a svolgere:
Assegnata la superficie di equazione z=sen(xy-x), scrivere un'equazione del piano per P(2,0,1)parallelo al piano tangente alla superficie in Q(2,1,0).
Mi potete dire come svolgerlo e cosa devo sapere per poterlo fare?
Grazie mille!
Assegnata la superficie di equazione z=sen(xy-x), scrivere un'equazione del piano per P(2,0,1)parallelo al piano tangente alla superficie in Q(2,1,0).
Mi potete dire come svolgerlo e cosa devo sapere per poterlo fare?
Grazie mille!
Risposte
Allora, per prima cosa sappiamo che due piani
sono paralleli se e solo se
Ora, data una funzione
Nel tuo caso essendo
il piano tangente alla funzione passante per
e quindi il piano passante per
Imponendo le condizioni di passaggio per
Quindi, posto
che è quella cercata.
[math]ax+by+cz+d=0,\qquad a'x+b'y+c'z+d'=0[/math]
sono paralleli se e solo se
[math]\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\lambda\in\mathbb{R}[/math]
Ora, data una funzione
[math]z=f(x,y)[/math]
il piano tangente a tale funzione passante per il punto [math]A(x_0,y_0,z_0)[/math]
è dato dall'equazione[math]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)+(z-z_0)=0[/math]
.Nel tuo caso essendo
[math]f(x,y)=\sin(xy-x)[/math]
si ha[math]f_x(2,1)=\left.\cos(xy-x)\cdot(y-1)\right|_{(2,1)}=\cos(0)\cdot 0=0[/math]
[math]f_y(2,1)=\left.\cos(xy-x)\cdot x\right|_{(2,1)}=\cos(0)\cdot 2=2[/math]
il piano tangente alla funzione passante per
[math]Q[/math]
ha equazione[math]0\cdot(x-2)+2(y-1)+(z-0)=0\ \Rightarrow\ 2y+z-2=0[/math]
e quindi il piano passante per
[math]P[/math]
deve avere equazione[math]2\lambda y+\lambda z+d=0[/math]
Imponendo le condizioni di passaggio per
[math]P[/math]
si ha[math]2\lambda\cdot 0+\lambda +d=0\ \Rightarrow\ d=-\lambda[/math]
Quindi, posto
[math]\lambda=1[/math]
(visto che tutti i coefficienti dipendono da tale valore) ottieni l'equazione[math]2y+z-1=0[/math]
che è quella cercata.