Equazione del calore
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questa semplicissima equazione del calore:
[tex]\begin{cases} u_{xx} = u_t \quad &(x,t) \in [-1,1]\times(0,+\infty) \\ u(x,0)=1 \quad &x \in [-1,1] \\ u(1,t) = u(-1,t) = 0 \quad & t \in (0, +\infty)\end{cases}[/tex]
Ho provato i metodi standard (separazione variabili, serie di fourier) ma le condizioni iniziali mi mettono in difficoltà... Idee??
Grazie!
[tex]\begin{cases} u_{xx} = u_t \quad &(x,t) \in [-1,1]\times(0,+\infty) \\ u(x,0)=1 \quad &x \in [-1,1] \\ u(1,t) = u(-1,t) = 0 \quad & t \in (0, +\infty)\end{cases}[/tex]
Ho provato i metodi standard (separazione variabili, serie di fourier) ma le condizioni iniziali mi mettono in difficoltà... Idee??
Grazie!
Risposte
Prova a scrivere qualche passaggio così possiamo capire meglio dove ti blocchi... Ad esempio, la separazione di variabili a quali equazioni differenziali ordinarie ti porta?
Si scusate andavo di fretta, scrivo subito:
Suppongo [tex]u(x,t)=v(x)w(t)[/tex], allora posso riscrivere la pde come [tex]\frac{v''(x)}{v(x)}=\frac{w'(t)}{w(t)}=\lambda[/tex], da cui ottengo:
[tex]w(t) = c e^{\lambda t}[/tex]. Supponendo ora [tex]\lambda = - \mu^2 < 0[/tex], ottengo
[tex]v(x) = c_1 \sin (\mu x) + c_2 \cos (\mu x)[/tex], e imponendo le condizioni iniziali ho:
[tex]\begin{cases}v(1) &= c_1 \sin (\mu) + c_2 \cos (\mu) = 0 \\ v(-1) &= -c_1 \sin (\mu) + c_2 \cos (\mu) = 0 \end{cases}[/tex]
da cui [tex]c_2 \cos (\mu)=0[/tex].
- Supponiamo [tex]c_2 = 0[/tex], allora [tex]c_1 \sin (\mu) = 0[/tex] e quindi [tex]\mu = k \pi[/tex] da cui [tex]v(x)=c_1 \sin (k \pi x)[/tex].
- Se invece [tex]c_2 \neq 0[/tex], [tex]\cos(\mu)=0[/tex] da cui [tex]\mu = \frac{\pi}2 + k\pi[/tex] da cui [tex]v(x)=c_1 \sin ((\frac{\pi}2 + k\pi)x)[/tex]
e già qui non capisco come possano esserci due soluzioni diverse...
Ad ogni modo, alla fine le due potenziali soluzioni sarebbero:
[tex]u_1(x,t) = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k e^{-k^2 \pi^2 t} \sin (k \pi x)[/tex]
[tex]u_2(x,t) = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k e^{-(\frac{\pi}2 + k\pi) ^2 t} \sin ((\frac{\pi}2 + k\pi)x)[/tex]
Sviluppando ora l'ultimo dato iniziale in serie di Fourier, ovviamente ottengo [tex]1[/tex] come l'unico coefficiente non nullo (i termini trigonometrici sono tutti nulli), ottengo che:
[tex]\begin{cases} c_0 = 0 = 1 \\ c_k e^{-k^2 \pi^2 t} \sin (k \pi x) = 0 \quad \Rightarrow c_k = 0 \quad \forall k \ge 1 \end{cases}[/tex]
e quindi [tex]u_1(x,t) =[/tex] ?!?!?!
e anche l'altra non mi porta a niente... Cosa sbaglio?
Grazie
Suppongo [tex]u(x,t)=v(x)w(t)[/tex], allora posso riscrivere la pde come [tex]\frac{v''(x)}{v(x)}=\frac{w'(t)}{w(t)}=\lambda[/tex], da cui ottengo:
[tex]w(t) = c e^{\lambda t}[/tex]. Supponendo ora [tex]\lambda = - \mu^2 < 0[/tex], ottengo
[tex]v(x) = c_1 \sin (\mu x) + c_2 \cos (\mu x)[/tex], e imponendo le condizioni iniziali ho:
[tex]\begin{cases}v(1) &= c_1 \sin (\mu) + c_2 \cos (\mu) = 0 \\ v(-1) &= -c_1 \sin (\mu) + c_2 \cos (\mu) = 0 \end{cases}[/tex]
da cui [tex]c_2 \cos (\mu)=0[/tex].
- Supponiamo [tex]c_2 = 0[/tex], allora [tex]c_1 \sin (\mu) = 0[/tex] e quindi [tex]\mu = k \pi[/tex] da cui [tex]v(x)=c_1 \sin (k \pi x)[/tex].
- Se invece [tex]c_2 \neq 0[/tex], [tex]\cos(\mu)=0[/tex] da cui [tex]\mu = \frac{\pi}2 + k\pi[/tex] da cui [tex]v(x)=c_1 \sin ((\frac{\pi}2 + k\pi)x)[/tex]
e già qui non capisco come possano esserci due soluzioni diverse...
Ad ogni modo, alla fine le due potenziali soluzioni sarebbero:
[tex]u_1(x,t) = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k e^{-k^2 \pi^2 t} \sin (k \pi x)[/tex]
[tex]u_2(x,t) = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k e^{-(\frac{\pi}2 + k\pi) ^2 t} \sin ((\frac{\pi}2 + k\pi)x)[/tex]
Sviluppando ora l'ultimo dato iniziale in serie di Fourier, ovviamente ottengo [tex]1[/tex] come l'unico coefficiente non nullo (i termini trigonometrici sono tutti nulli), ottengo che:
[tex]\begin{cases} c_0 = 0 = 1 \\ c_k e^{-k^2 \pi^2 t} \sin (k \pi x) = 0 \quad \Rightarrow c_k = 0 \quad \forall k \ge 1 \end{cases}[/tex]
e quindi [tex]u_1(x,t) =[/tex] ?!?!?!
e anche l'altra non mi porta a niente... Cosa sbaglio?
Grazie
Il dato iniziale [tex]$u(x,0)=1$[/tex] risulta pari sul dominio... quindi la soluzione dovrebbe essere espressa solo in termini di termini pari: questo implica che devi avere una cosa del tipo [tex]$u(x,t)=\sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cos(\mu x)$[/tex]
Non riesco ancora a dargli un senso...
Se è del tipo [tex]u(x,t)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(t) \cos[(\frac \pi 2 + k\pi)x][/tex], allora ottengo che:
[tex]u(1,t)=u(-1,t)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(t) \cos(\frac \pi 2 + k\pi) \equiv 0[/tex] è ok.
[tex]u(x,0)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(0) \cos[(\frac \pi 2 + k\pi)x] \equiv 1[/tex] che implica [tex]\begin{cases} a_0(0)=1 \\ a_k(0)=0 \quad k \ge 1 \end{cases}[/tex].
Risolvendo la pde trovo [tex]a_k(t) = c_k e^{-(\frac \pi 2 + k \pi)^2 t}[/tex], da cui [tex]a_0(0)=c_0=1 \Rightarrow a_0(t) \equiv 1[/tex], ma [tex]a_k(0)=c_k=0[/tex] implica [tex]a_k(t) \equiv 0[/tex] e si annulla tutto di nuovo...
Non riesco a capire l'errore...
Se è del tipo [tex]u(x,t)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(t) \cos[(\frac \pi 2 + k\pi)x][/tex], allora ottengo che:
[tex]u(1,t)=u(-1,t)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(t) \cos(\frac \pi 2 + k\pi) \equiv 0[/tex] è ok.
[tex]u(x,0)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(0) \cos[(\frac \pi 2 + k\pi)x] \equiv 1[/tex] che implica [tex]\begin{cases} a_0(0)=1 \\ a_k(0)=0 \quad k \ge 1 \end{cases}[/tex].
Risolvendo la pde trovo [tex]a_k(t) = c_k e^{-(\frac \pi 2 + k \pi)^2 t}[/tex], da cui [tex]a_0(0)=c_0=1 \Rightarrow a_0(t) \equiv 1[/tex], ma [tex]a_k(0)=c_k=0[/tex] implica [tex]a_k(t) \equiv 0[/tex] e si annulla tutto di nuovo...
Non riesco a capire l'errore...
up... ancora non sono riuscito a risolverla...
Dunque, hai capito che [tex]$u(x,t)=\sum_{k=0}^\infty c_k e^{-\mu_k^2 t}\cos(\mu_k x),\qquad \mu_k=\frac{\pi}{2}+k\pi$[/tex]. Per determinare i coefficienti [tex]$c_k$[/tex] devi sviluppare la funzione [tex]$u(x,0)=1$[/tex] sull'intervallo dato in serie di Fourier del tipo
[tex]$1=\sum_{k=0}^\infty b_k\cos(\mu_k)$[/tex]
e quindi usare l'identità
[tex]$\sum_{k=0}^\infty b_k\cos(\mu_k)=1=u(x,0)=\sum_{k=0}^\infty c_k\cos(\mu_k)$[/tex]
per scoprire che [tex]$c_k=b_k$[/tex].
[tex]$1=\sum_{k=0}^\infty b_k\cos(\mu_k)$[/tex]
e quindi usare l'identità
[tex]$\sum_{k=0}^\infty b_k\cos(\mu_k)=1=u(x,0)=\sum_{k=0}^\infty c_k\cos(\mu_k)$[/tex]
per scoprire che [tex]$c_k=b_k$[/tex].
"ciampax":
Dunque, hai capito che [tex]$u(x,t)=\sum_{k=0}^\infty c_k e^{-\mu_k^2 t}\cos(\mu_k x),\qquad \mu_k=\frac{\pi}{2}+k\pi$[/tex]. Per determinare i coefficienti [tex]$c_k$[/tex] devi sviluppare la funzione [tex]$u(x,0)=1$[/tex] sull'intervallo dato in serie di Fourier del tipo
[tex]$1=\sum_{k=0}^\infty b_k\cos(\mu_k)$[/tex]
e quindi usare l'identità
[tex]$\sum_{k=0}^\infty b_k\cos(\mu_k)=1=u(x,0)=\sum_{k=0}^\infty c_k\cos(\mu_k)$[/tex]
per scoprire che [tex]$c_k=b_k$[/tex].
Scusami ma la serie di Fourier di $1$ non la ottengo semplicemente ponendo $b_0=1$ e $b_k=0$ per $k >= 1$? (visto che $1$ è una funzione periodica, se vogliamo degenere?)
Infatti otterrei $1*cos(pi / 2) + 0 = 1$... e quindi sostituendo questo coefficienti come ho fatto sopra mi esce un assurdo...
Cosa mi sfugge?!?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo