Equazione definita per ricorrenza
Abbiamo una successione $a(n)$ che soddisfa l'equazione ricorsiva $a(n+1) - 10a(n) - 112a(n - 1) = 8*10^n$.
Come è possibile trovare una formula chiusa per $a(n)$?
Come è possibile trovare una formula chiusa per $a(n)$?
Risposte
"fireball":
Abbiamo una successione $a(n)$ che soddisfa l'equazione ricorsiva $a(n+1) - 10a(n) - 112a(n - 1) = 8*10^n$.
Come è possibile trovare una formula chiusa per $a(n)$?
Basta studiarsi un po' di teoria sulle equazioni lineari alle differenze finite.
Sì lo so, ma pare che i conti non tornino... Qualcuno di voi può almeno dirmi che formula viene, anche senza dirmi il procedimento?
Può darsi che io abbia sbagliato l'equazione per ricorrenza...
Devo praticamente risolvere il seguente sistema,
trovando una formula ricorsiva che contenga
solo termini di $a(n)$:
${(a(n)=10*a(n-1)+8*b(n-1)),(b(n)=10*b(n-1)+14*a(n-1)):}$
Potete aiutarmi a capire come si può trovare
una formula ricorsiva, cioè del tipo
$k_1*a(n+1)+k_2*a(n)+k_3*a(n-1)+...=f(n)$
dove $f(n)$ è un'espressione esplicita in funzione
di $n$ in cui figura un polinomio in $n$ e una potenza
con esponente $n$?
Devo praticamente risolvere il seguente sistema,
trovando una formula ricorsiva che contenga
solo termini di $a(n)$:
${(a(n)=10*a(n-1)+8*b(n-1)),(b(n)=10*b(n-1)+14*a(n-1)):}$
Potete aiutarmi a capire come si può trovare
una formula ricorsiva, cioè del tipo
$k_1*a(n+1)+k_2*a(n)+k_3*a(n-1)+...=f(n)$
dove $f(n)$ è un'espressione esplicita in funzione
di $n$ in cui figura un polinomio in $n$ e una potenza
con esponente $n$?
Non ho capito l'affare del sistema (probabilmente si tratta di un metodo
differente da quelli a me noti).
Io farei cosi'.
L'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata e':
$lambda^2-10lambda-112=0$ da cui $lambda_(1,2)=5+-sqrt137
Pertanto la soluzione della medesima equazione e'data da:
$a_n=c_1(5-sqrt137)^n+c_2(5+sqrt137)^n$ con $c_1,c_2$ costanti arbitrarie.
Proviamo ora a trovare una soluzione dell'equazione completa del tipo $A.10^n$
Sostituendo nell'equazione data si ha:
$A.10^(n+1)-10A.10^n-112A.10^(n-1)=8.10^n$ da cui con qualche calcolo
si ricava che $A=-5/7$
In conclusione si ottiene come soluzione complessiva la formula chiusa:
$a_n=c_1(5-sqrt137)^n+c_2(5+sqrt137)^n-5/7 10^n$
Ho verificato e sembra che si trovi.
Ciao.
Archimede
differente da quelli a me noti).
Io farei cosi'.
L'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata e':
$lambda^2-10lambda-112=0$ da cui $lambda_(1,2)=5+-sqrt137
Pertanto la soluzione della medesima equazione e'data da:
$a_n=c_1(5-sqrt137)^n+c_2(5+sqrt137)^n$ con $c_1,c_2$ costanti arbitrarie.
Proviamo ora a trovare una soluzione dell'equazione completa del tipo $A.10^n$
Sostituendo nell'equazione data si ha:
$A.10^(n+1)-10A.10^n-112A.10^(n-1)=8.10^n$ da cui con qualche calcolo
si ricava che $A=-5/7$
In conclusione si ottiene come soluzione complessiva la formula chiusa:
$a_n=c_1(5-sqrt137)^n+c_2(5+sqrt137)^n-5/7 10^n$
Ho verificato e sembra che si trovi.
Ciao.
Archimede
Grazie Archimede, sì, anche a me viene quella formula,
ma il problema è che non mi pare proprio che
gli elementi di $a_n$ siano interi... Mah!
ma il problema è che non mi pare proprio che
gli elementi di $a_n$ siano interi... Mah!
Per quanto riguarda quel sistema, devo cercare
di eliminare $b(n)$ in modo da ottenere solo
una formula ricorsiva per $a(n)$. Credo proprio
di aver sbagliato quest'ultima.
di eliminare $b(n)$ in modo da ottenere solo
una formula ricorsiva per $a(n)$. Credo proprio
di aver sbagliato quest'ultima.
Non vedo perche' i termini della successione debbano essere per forza
interi , a meno che la cosa non sia legata al particolare problema che
stai studiando.
Quanto al sistema non sembra facile eliminare $b_n$.Ora vedo
Archimede
interi , a meno che la cosa non sia legata al particolare problema che
stai studiando.
Quanto al sistema non sembra facile eliminare $b_n$.Ora vedo
Archimede
Sì, dici bene... E' legata ad un particolare problema che sto studiando. Ma ora la difficoltà sta proprio nell'eliminare $b_n$.
Se vi può essere utile, le condizioni iniziali
delle ricorsioni sono:
per la ricorsione $a(n)$: $a(1)=8$ e $a(0)=0$
per la ricorsione $b(n)$: $b(1)=10$ e $b(0)=0$
delle ricorsioni sono:
per la ricorsione $a(n)$: $a(1)=8$ e $a(0)=0$
per la ricorsione $b(n)$: $b(1)=10$ e $b(0)=0$
Bisognerebbe sostituire in $b(n)$, calcolare
$b(1)$, $b(2)$, $b(3)$, finché non si riesce
a intuire qual è la ricorsione... Ma vorrei
la conferma che la formula ricorsiva
sia proprio $a(n+1)-10a(n)-112a(n-1)=8*10^n$ oppure no.
$b(1)$, $b(2)$, $b(3)$, finché non si riesce
a intuire qual è la ricorsione... Ma vorrei
la conferma che la formula ricorsiva
sia proprio $a(n+1)-10a(n)-112a(n-1)=8*10^n$ oppure no.
Un metodo per eliminare $ b_n$ l'avrei trovato ma non porta comunque a risultati interi.
Introducendo l'operatore $E=1+Delta$ tale che risulti $a_n=Ea_(n-1)$
Il sistema diventa:
$[Ea_(n-1)=10a_(n-1)+8b_(n-1),Eb_(n-1)=14a_(n-1)+10b_(n-1)]$
da cui ,eliminando $b_(n-1)$,si ottiene l'equazione simbolica:
$(E-10)^2a_(n-1)-112a_(n-1)=0$ oppure:
$E^2a_(n-1)-20Ea_(n-1)-12a_(n-1)=0$ e cioe':
$a_(n+1)-20a_n-12a_(n-1)=0$ che e' la relazione di ricorrenza cercata.
Risolvendo tale equazione con i soliti metodi si ottiene:
$a_n=c_1(10+4sqrt7)^n+c_2(10-4sqrt7)^n$
Imponendo le condizioni inziali si ha :$c_1=-c_2=1/sqrt7$ e quindi:
$a_n=((10+4sqrt7)^n-(10-4sqrt7)^n)/sqrt7$
Dal sistema iniziale si ricava poi:
$b_(n-1)=(a_n-10a_(n-1))/8$ e sostituendo la formula precedente risulta:
$b_n=((10+4sqrt7)^n+(10-4sqrt7)^n)/2$
Vorrei precisare che a mio avviso deve essere bo=1e non bo=0 .Infatti se nel
siatema iniziale poniamo n=1 si ha:
$a_1=10a_0+8b_0$
$b_1=14a_0+10b_0$
Se ora fosse ,come hai indicato ,ao=bo=0 ne seguirebbe che a1=b1=0 contro l'ipotesi.
Invece il conto torna con ao=0 e bo=1.
Archimede
Introducendo l'operatore $E=1+Delta$ tale che risulti $a_n=Ea_(n-1)$
Il sistema diventa:
$[Ea_(n-1)=10a_(n-1)+8b_(n-1),Eb_(n-1)=14a_(n-1)+10b_(n-1)]$
da cui ,eliminando $b_(n-1)$,si ottiene l'equazione simbolica:
$(E-10)^2a_(n-1)-112a_(n-1)=0$ oppure:
$E^2a_(n-1)-20Ea_(n-1)-12a_(n-1)=0$ e cioe':
$a_(n+1)-20a_n-12a_(n-1)=0$ che e' la relazione di ricorrenza cercata.
Risolvendo tale equazione con i soliti metodi si ottiene:
$a_n=c_1(10+4sqrt7)^n+c_2(10-4sqrt7)^n$
Imponendo le condizioni inziali si ha :$c_1=-c_2=1/sqrt7$ e quindi:
$a_n=((10+4sqrt7)^n-(10-4sqrt7)^n)/sqrt7$
Dal sistema iniziale si ricava poi:
$b_(n-1)=(a_n-10a_(n-1))/8$ e sostituendo la formula precedente risulta:
$b_n=((10+4sqrt7)^n+(10-4sqrt7)^n)/2$
Vorrei precisare che a mio avviso deve essere bo=1e non bo=0 .Infatti se nel
siatema iniziale poniamo n=1 si ha:
$a_1=10a_0+8b_0$
$b_1=14a_0+10b_0$
Se ora fosse ,come hai indicato ,ao=bo=0 ne seguirebbe che a1=b1=0 contro l'ipotesi.
Invece il conto torna con ao=0 e bo=1.
Archimede
Ho provato a cambiare completamente metodo di soluzione , non riuscendo a esprimere tutto in funzione solo di a(n ) e a(n+1).
In sintesi ho sfruttato il metodo di soluzione applicabile a un sistema di equazioni differenziali di primo ordine lineare in due funzioni incognite e ho riscritto il sistema in questo modo :
$ b(n) = 10*b(n-1) +14*a(n-1)
$ a(n) = 8*b(n-1) +10a(n-1) $
la matrice dei coefficienti è quindi : $((10,14 ),(8,10))$ e risulta diagonalizzabile .
Gli autovalori sono : $ 10+4*sqrt(7) ; 10-4sqrt(7) $ con rispettiva base di autovettori :
$(sqrt(7), 2 )$ ;$ ( sqrt(7), -2 ) $
La soluzione generale risulta quindi essere :
$(b(n-1), a(n-1))^T =C_1*(10+4sqrt(7))^n *(sqrt(7),2)^T +C2*(10-4sqrt(7))^n*(sqrt(7), -2)^T $ e quindi :
$b(n) = sqrt(7)*C_1(10+4sqrt(7))^(n) +sqrt(7)*C_2 (10-4sqrt(7))^(n) $
$a(n) = 2C_1(10+4sqrt(7))^(n)-2C_2(10-4sqrt(7))^(n) $
In sintesi ho sfruttato il metodo di soluzione applicabile a un sistema di equazioni differenziali di primo ordine lineare in due funzioni incognite e ho riscritto il sistema in questo modo :
$ b(n) = 10*b(n-1) +14*a(n-1)
$ a(n) = 8*b(n-1) +10a(n-1) $
la matrice dei coefficienti è quindi : $((10,14 ),(8,10))$ e risulta diagonalizzabile .
Gli autovalori sono : $ 10+4*sqrt(7) ; 10-4sqrt(7) $ con rispettiva base di autovettori :
$(sqrt(7), 2 )$ ;$ ( sqrt(7), -2 ) $
La soluzione generale risulta quindi essere :
$(b(n-1), a(n-1))^T =C_1*(10+4sqrt(7))^n *(sqrt(7),2)^T +C2*(10-4sqrt(7))^n*(sqrt(7), -2)^T $ e quindi :
$b(n) = sqrt(7)*C_1(10+4sqrt(7))^(n) +sqrt(7)*C_2 (10-4sqrt(7))^(n) $
$a(n) = 2C_1(10+4sqrt(7))^(n)-2C_2(10-4sqrt(7))^(n) $
Sì, è corretto, mi torna tutto!
Completando la soluzione con i dati iniziali di Archimede :
a(0) = 0 ; b(0) = 1 si ottiene che
$C_1 = C_2 = 1/(2sqrt(7)) $ e le soluzioni sono :
$ a(n) = [(10+4sqrt(7))^n -(10-4sqrt(7)]^n]/sqrt(7) $
$ b(n) = [(10+4sqrt(7))^n +(10-4sqrt(7))^n]/2 $.
a(0) = 0 ; b(0) = 1 si ottiene che
$C_1 = C_2 = 1/(2sqrt(7)) $ e le soluzioni sono :
$ a(n) = [(10+4sqrt(7))^n -(10-4sqrt(7)]^n]/sqrt(7) $
$ b(n) = [(10+4sqrt(7))^n +(10-4sqrt(7))^n]/2 $.
Alla fine mi ci sono messo e vedo che mi torna davvero tutto!
La ricorsione $a(n)$ l'ho ricavata in un modo diverso
da quello di Archimede ma il risultato è stato lo stesso...
Meno male, sono proprio contento.
La ricorsione $a(n)$ l'ho ricavata in un modo diverso
da quello di Archimede ma il risultato è stato lo stesso...
Meno male, sono proprio contento.
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