Equazione da capogiro
Salve matematici,
questa equazione mi sta mandando fuori di testa! Ho provato a cercare esercizi simili in rete ma niente, quindi mi appello a voi santi
$ 2 \cos(x) - \sqrt(2) = \arccos^2(x) $
Come bisogna procedere per risolverla? Qualche amico mi ha consigliato il metodo grafico ma oltre a "non piacermi" (lo vedo poco "analitico") non saprei comunque come applicarlo.
Idee?
Ho provato a dividere tutto per 2 e scrivere il secondo termine (a sinistra) come $ \cos(\frac(\pi)(4)) $ ma non riesco comunque a combinare cos e arccos. Infine, alla pagina Wikipedia delle identità trigonometriche ho trovato che:
$ \sin ( \arccos x ) = sqrt(1-x^2) $
Ma anche in questo caso, non saprei come potrebbe tornarmi utile
questa equazione mi sta mandando fuori di testa! Ho provato a cercare esercizi simili in rete ma niente, quindi mi appello a voi santi
$ 2 \cos(x) - \sqrt(2) = \arccos^2(x) $
Come bisogna procedere per risolverla? Qualche amico mi ha consigliato il metodo grafico ma oltre a "non piacermi" (lo vedo poco "analitico") non saprei comunque come applicarlo.
Idee?
Ho provato a dividere tutto per 2 e scrivere il secondo termine (a sinistra) come $ \cos(\frac(\pi)(4)) $ ma non riesco comunque a combinare cos e arccos. Infine, alla pagina Wikipedia delle identità trigonometriche ho trovato che:
$ \sin ( \arccos x ) = sqrt(1-x^2) $
Ma anche in questo caso, non saprei come potrebbe tornarmi utile
Risposte
Ciao alex369, anche se non ti "piace" il metodo grafico è l'unico modo per risolvere l'equazione. Il metodo è molto semplice, disegni la funzione $2cos(x)-sqrt(2)$, poi sullo stesso grafico disegni $arccos^2(x)$ e guardi dove le due funzioni si intersecano. Quelli saranno i valori che soddisfano l'uguaglianza.
"HaldoSax":
Ciao alex369, anche se non ti "piace" il metodo grafico è l'unico modo per risolvere l'equazione. Il metodo è molto semplice, disegni la funzione $2cos(x)-sqrt(2)$, poi sullo stesso grafico disegni $arccos^2(x)$ e guardi dove le due funzioni si intersecano. Quelli saranno i valori che soddisfano l'uguaglianza.
Ma veramente non ci sono alternative? Perché si tratta di un'equazione apparsa da un dominio di una funzione, presa da una traccia d'esame (di Ingegneria, neanche di Matematica). Come si disegna, ad occhio, la funzione $arccos^2(x)$ poi?
Alternative non ce ne sono, anche a ingegneria si risolvono le equazioni per via grafica. Per la seconda domanda devi fare uno studio di funzione. Limiti, positività, derivata prima. 
Sembra complicata ma non lo è.
Sembra complicata ma non lo è.
Ciao alex369, sei riuscito a fare lo studio di funzione?
@alex369: Tutto sta a chiarire cosa significa per te "risolvere l'equazione"...
Chiaramente, se "risolvere l'equazione" significa esprimere la soluzione in forma chiusa in termini di funzioni elementari, credo che tu non abbia alcuna speranza di "risolvere" l'equazione assegnata.
Se, invece, per te significa determinare se esiste qualche soluzione ed, eventualmente, calcolarla in modo approssimato (o stimare la sua posizione), allora qualche speranza c'è.
Chiaramente, se "risolvere l'equazione" significa esprimere la soluzione in forma chiusa in termini di funzioni elementari, credo che tu non abbia alcuna speranza di "risolvere" l'equazione assegnata.
Se, invece, per te significa determinare se esiste qualche soluzione ed, eventualmente, calcolarla in modo approssimato (o stimare la sua posizione), allora qualche speranza c'è.
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