Equazione cono
Una disequazione del tipo $z^2>=x^2+y^2$ rappresenta due coni infiniti sviluppati attorno all'asse z, con vertice (in comune) nell'origine.
Invece con $z<=2sqrt(x^2+y^2)$ dovrei avere sempre due coni infiniti con vertice nell'origine ma, stavolta, sviluppati perpendicolarmente all'asse $z$?
E allora $0<=z<=2sqrt(x^2+y^2)$ cosa rappresenta? Due semi-coni con uguali caratteristiche?
PS esiste un programma di facile uso che permetta di rappresentare grafici in 3d?
Derive 6 mi consente di plottare solo sfere!
Invece con $z<=2sqrt(x^2+y^2)$ dovrei avere sempre due coni infiniti con vertice nell'origine ma, stavolta, sviluppati perpendicolarmente all'asse $z$?
E allora $0<=z<=2sqrt(x^2+y^2)$ cosa rappresenta? Due semi-coni con uguali caratteristiche?
PS esiste un programma di facile uso che permetta di rappresentare grafici in 3d?
Derive 6 mi consente di plottare solo sfere!
Risposte
Vediamo un po'...
La disequazione [tex]$z^2\leq 4(x^2+y^2)$[/tex] rappresenta la parte esterna ai due coni indefiniti d'equazione [tex]$z^2=4(x^2+y^2)$[/tex] (N.B.: per me un cono è ua superficie quadrica e non un solido).
Le relazioni [tex]$0\leq z\leq 2\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] perciò rappresentano i punti del semispazio [tex]$z\geq 0$[/tex] che non stanno dentro al cono rovesciato [tex]$z=2\sqrt{x^2+y^2}$[/tex].
La disequazione [tex]$z^2\leq 4(x^2+y^2)$[/tex] rappresenta la parte esterna ai due coni indefiniti d'equazione [tex]$z^2=4(x^2+y^2)$[/tex] (N.B.: per me un cono è ua superficie quadrica e non un solido).
Le relazioni [tex]$0\leq z\leq 2\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] perciò rappresentano i punti del semispazio [tex]$z\geq 0$[/tex] che non stanno dentro al cono rovesciato [tex]$z=2\sqrt{x^2+y^2}$[/tex].
Ma questo "spazio" che indichi tu, che tipo di sezione ha? Sempre circolare?
Te lo chiedo perché in un esercizio mi si chiede di integrare una funzione su $D={0<=z<=2sqrt(x^2+y^2); 1<=x^2+y^2<=5}$ , e io non riesco a vedere queste sezioni circolari che per $z=2$ hanno raggio $1$!
Te lo chiedo perché in un esercizio mi si chiede di integrare una funzione su $D={0<=z<=2sqrt(x^2+y^2); 1<=x^2+y^2<=5}$ , e io non riesco a vedere queste sezioni circolari che per $z=2$ hanno raggio $1$!
[tex]$D$[/tex] è l'intersezione della parte esterna al cilindro con la corona sferica di raggi [tex]$1,\sqrt{5}$[/tex] ed il semispazio [tex]$z\geq 0$[/tex]; in sezione con piani condotti per l'asse [tex]$z$[/tex] trovi l'insieme bordato di rosso in figura:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-2;ymax=4;
axes("","");
plot("2*abs(x)",-4,4); plot("-2*abs(x)",-4,4); circle([0,0],1); circle([0,0],2.236);
stroke="red"; strokewidth="3";
plot("2*abs(x)",-1,-0.45); plot("2*abs(x)",0.45,1);
arc([1,0],[0.45,0.89],1); arc([-0.45,0.89],[-1,0],1);
arc([2.236,0],[1,2],2.236); arc([-1,2],[-2.236,0],2.236);
line([-1,0],[-2.236,0]); line([1,0],[2.236,0]);[/asvg]
Se passi in cilindriche:
[tex]$\begin{cases} x=r\ \cos \vartheta \\ y=r\ \sin \vartheta \\ z=h \end{cases}$[/tex]
e ottieni:
[tex]$D=\{ 0\leq h\leq 2\ r,\ 1\leq r^2\leq 5,\ 0\leq \vartheta \leq 2\pi \} = \{ 0\leq h\leq 2\ r,\ 1\leq r\leq \sqrt{5} ,\ 0\leq \vartheta \leq 2\pi\}$[/tex].
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-2;ymax=4;
axes("","");
plot("2*abs(x)",-4,4); plot("-2*abs(x)",-4,4); circle([0,0],1); circle([0,0],2.236);
stroke="red"; strokewidth="3";
plot("2*abs(x)",-1,-0.45); plot("2*abs(x)",0.45,1);
arc([1,0],[0.45,0.89],1); arc([-0.45,0.89],[-1,0],1);
arc([2.236,0],[1,2],2.236); arc([-1,2],[-2.236,0],2.236);
line([-1,0],[-2.236,0]); line([1,0],[2.236,0]);[/asvg]
Se passi in cilindriche:
[tex]$\begin{cases} x=r\ \cos \vartheta \\ y=r\ \sin \vartheta \\ z=h \end{cases}$[/tex]
e ottieni:
[tex]$D=\{ 0\leq h\leq 2\ r,\ 1\leq r^2\leq 5,\ 0\leq \vartheta \leq 2\pi \} = \{ 0\leq h\leq 2\ r,\ 1\leq r\leq \sqrt{5} ,\ 0\leq \vartheta \leq 2\pi\}$[/tex].
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