Equazione con somma di esponenziali
Salve a tutti,
ho un esercizio che recita:
"Determinare il numero di soluzioni dell'equazione:" $ 3^x+4^x+5^x=6^x $
mi trovo del tutto senza idee, ci sarebbe qualcuno che mi dà una spinta nella giusta direzione??
Grazie!
ho un esercizio che recita:
"Determinare il numero di soluzioni dell'equazione:" $ 3^x+4^x+5^x=6^x $
mi trovo del tutto senza idee, ci sarebbe qualcuno che mi dà una spinta nella giusta direzione??
Grazie!
Risposte
L'unica cosa che mi viene in mente è che potresti studiare gli zeri della funzione [tex]f(x)=3^x +4^x + 5^x -6^x[/tex]. La funzione è continua, puoi guardare cosa accade alla derivata (ad esempio se la funzione è monotona) e guardare i limiti per [tex]x\to \pm \infty[/tex].
Paola
Paola
$ 3^x+4^x+5^x=6^x $
$ => (1/6)^x ( 3^x+4^x+5^x ) = 1$
$ => (3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x = 1$
$ => (1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x = 1$
Osservo che :
per $x<=0$ la parte sx della equazione è maggiore di 1
per $x>0$ deve esistere un $barx$ tale che per tutti gli $x>barx$ la parte sx della equazione diventa minore di 1.
Osservo che questo deve avvenire una volta sola perchè la funzione $ f(x) = (1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x $ è strettamente decrescente.
A questo punto provando i valori 1,2,3 nella equazione originaria si trova (fortunatamente) che per x=3 :
$ 3^3+4^3+5^3=6^3 = 216$
Perciò l'equazione ha l'unica soluzione x=3.
.
$ => (1/6)^x ( 3^x+4^x+5^x ) = 1$
$ => (3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x = 1$
$ => (1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x = 1$
Osservo che :
per $x<=0$ la parte sx della equazione è maggiore di 1
per $x>0$ deve esistere un $barx$ tale che per tutti gli $x>barx$ la parte sx della equazione diventa minore di 1.
Osservo che questo deve avvenire una volta sola perchè la funzione $ f(x) = (1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x $ è strettamente decrescente.
A questo punto provando i valori 1,2,3 nella equazione originaria si trova (fortunatamente) che per x=3 :
$ 3^3+4^3+5^3=6^3 = 216$
Perciò l'equazione ha l'unica soluzione x=3.
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Grazie per le risposte! la soluzione proposta è ottima, peccato che non ci sarei mai arrivato da solo 
La quaterna $3,4,5,6$ ha questa proprietà curiosa.
Chi fosse interessato al problema di altre quaterne di interi per cui $x^3 + y^3 + z^3 = u^3$, lo può trovare descritto in "Algebra can be fun" di Ya. I. Perelman, nel capitolo "An Indeterminate Equation of Third Degree" alle pgg. 139 e sgg..
Il libro può essere scaricato gratuitamente in formato djvu qui:
http://uploading.com/files/ND19Y24B/AlgeCBeFu.rar.html
Per leggerlo c'è bisogno di un lettore apposito. Uno, freeware e che converte anche in formato pdf, si può trovare qui:
http://djvutopdf.com/
Chi fosse interessato al problema di altre quaterne di interi per cui $x^3 + y^3 + z^3 = u^3$, lo può trovare descritto in "Algebra can be fun" di Ya. I. Perelman, nel capitolo "An Indeterminate Equation of Third Degree" alle pgg. 139 e sgg..
Il libro può essere scaricato gratuitamente in formato djvu qui:
http://uploading.com/files/ND19Y24B/AlgeCBeFu.rar.html
Per leggerlo c'è bisogno di un lettore apposito. Uno, freeware e che converte anche in formato pdf, si può trovare qui:
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"UbuntuRules":
Grazie per le risposte! la soluzione proposta è ottima, peccato che non ci sarei mai arrivato da solo
Anch'io non riesco a risolvere tanti esercizi.
Un piccolo suggerimento può essere quello di visualizzare il grafico.
Infatti in questo caso io ho scritto la soluzione in formule, ma l'idea della soluzione
mi è venuta tracciando i grafici delle due funzioni che compongono la equazione...
Con l'allenamento, secondo me, si impara a "riconoscere" degli indizi nel problema che possono
indicare la strada della soluzione (...almeno io spero che sia così!)
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