Equazione con problema di Cauchy

[cri981]

salve ragazzi devo risolvere il seguente esercizio:
individuare il valore di $y=(2/3pi)$ per problemi di Cauchy della seguente equazione differenziale:

$y=x(yprime-xsen(x)$ dove $y(pi/3)=pi/6 $
1)$y(2/3pi)=3/2$
2)$y(2/3pi)=pi/2$
3)$y(2/3pi)=3/4pi$
4)$y(2pi/3)=pi$

il mio svolgimento:
$y=xyprime-x^2sen(x)$
riscrivo come:
$yprime-y/x=xsen(x)$

ottengo un equazione differenziale del primo ordine dove:
$p(x)=-1/x$ e integrando ottengo $P(x)=-ln(x)$ e $q(x)=xsen(x)$

applicando la formula risolutiva ottengo:
$e^-P(x)-(int(q(x)e^P(x)dx+c)=$

sostituendo ottengo:
$e^(ln(x))-(intxsen(x)e^(-ln(x))dx+c)$

$x-x^2cos(x)+2xsen(x)+2cos(x)$

adesso vado a considerare i parametri considero $y(pi/3)=pi/6$ quindi $x=pi/3$ e devo ottenere dall'equazione differenziale $pi/6$

$x-x^2cos(x)+2xsen(x)+2cos(x)=pi/3-(pi/3)^2cos(pi/3)+2(pi/3)sen(pi/3)+2cos(pi/3)=(pi/3)-(pi/9)^2cos(pi/3)+2/3pisen(pi/3)+2cos(pi/3)=pi/3-pi^2/9*1/2+2/3pisqrt(3)/2+2*1/2$
come ottengo da questo (pi/6)?

adesso considero $x=(2pi/3)$

$2/3pi(2/3pi)^2cos(2/3pi)+2(2/3pi)sen(2/3pi)+2cos(2/3pi)=$
$=2/3pi(4/9pi^2)(-1/2)+(4/3pi)(sqrt(3)/2)+2(-1/2)=$

come proseguo con i calcoli e giungo ad una soluzione?
grazie

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Scusa, ma cosa caspita stai facendo?
L'equazione differenziale proposta è la seguente:

$ y=x(y'-xsin(x)) $

Quest'ultima ha soluzione $y(x) = cx - x cos x $
Imponi la condizione data $y(\pi/3) = \pi/6 $ e trovi la costante $c$, poi ti calcoli $y(2 \pi/3) $ e hai finito...

[cri981]

ciao pilloeffe
grazie al tuo aiuto ho trovato l'errore.
$e^(-ln(x)=1/x$
considero il problema di Cauchy:
y(pi/3)=pi/6

y(x)=cx-xcos(x)

$c(pi/3)-(pi/3)cos(pi/3)=0$
$(pi/3)-(pi/6)=0$

$pi/3=pi/6$
considero:
$y(2/3pi)$
$y(2/3pi)=(c2/3pi)-(2/3pi)cos(2/3pi)$
è corretto?
grazie!
$2/3pi+pi/3=pi$

[pilloeffe]

"cri98":grazie al tuo aiuto ho trovato l'errore.

Bene.

"cri98":considero il problema di Cauchy:
y(pi/3)=pi/6

y(x)=cx-xcos(x)

No. Il Problema di Cauchy (brevemente PdC) è il seguente:

${(y=x(y'-xsin(x))), (y(pi/3)=pi/6):} $

La soluzione dell'equazione differenziale, come si è detto, è la seguente:

$y(x) = cx - x cos x $

Per trovare la soluzione del PdC occorre determinare la costante $c$, che non hai trovato: al contrario, continuo a vedere da parte tua calcoli buttati lì senza alcun senso...
Se sai che $y(pi/3)=pi/6$, questo significa che $ \pi/6 = y(\pi/3) = c(\pi/3) - \pi/3 cos(\pi/3) \implies c = 1 $
Pertanto la soluzione del PdC proposto è $y(x) = x(1 - cos x) $

[dissonance]

"pilloeffe":continuo a vedere da parte tua calcoli buttati lì senza alcun senso...

Già. Questo è particolarmente significativo:

"cri98":
\[
\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\]

Mi sa che cri è in preda al panico pre-esame, il che è comprensibile ma va superato. Altrimenti non si impara proprio un tubo. Il panico chiude tutte le porte all'apprendimento.