Equazione con Numeri Complessi
Salve a tutti, ho finito di studiare la teoria sui numeri complessi e sto iniziando a risolvere qualche esercizio. In particolare ho qualche dubbio sullo sviluppo di questo esercizio:
Determinare tutti i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2 bar(z)^4=-8i$
ho iniziato a svolgere l'equazione nel seguente modo: $z^2=(x+iy)(x+iy)=(x^2+y^2, x^2-y^2)$
poi usando il binomio di newton $(x-iy)^4=x^4-4ix^3y-6x^2y^2$ [in questo punto non so quanto vale $i^3$ e ho considerato $=-1$ ->] $-4xy^3-y^4$
e non saprei continuare, dovrei sostituire il tutto nell'equazione e cercare di semplificare?
Grazie a Tutti!
Determinare tutti i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2 bar(z)^4=-8i$
ho iniziato a svolgere l'equazione nel seguente modo: $z^2=(x+iy)(x+iy)=(x^2+y^2, x^2-y^2)$
poi usando il binomio di newton $(x-iy)^4=x^4-4ix^3y-6x^2y^2$ [in questo punto non so quanto vale $i^3$ e ho considerato $=-1$ ->] $-4xy^3-y^4$
e non saprei continuare, dovrei sostituire il tutto nell'equazione e cercare di semplificare?
Grazie a Tutti!
Risposte
Beh mi pare ovvio incominciare col dire che: [tex](-i)^3=(-i)^2(-i)=(-1)^2i^2i=-i[/tex].
Un altro errore è [tex]z^2=(x,y)^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy=(x^2-y^2,2xy)[/tex].
Correggi i conti e controlla la potenza quarta in quanto [tex]i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1[/tex]; una volta arrivato all'espressione finale del numero complesso in x ed y, eguagli la parte reale a 0 e la parte immaginaria a -8 ed hai un sitema di 2 equazioni in 2 incognite.
Se tu volessi esemplificare [tex]-8i=z^2\overline z^4=z^2\overline z^2\overline z^2=(z\overline z)^2\overline z^2=(x^2+y^2)^2(x-iy)^2=[(x^2+y^2)(x-iy)]^2[/tex] il quale equivale a [tex]\sqrt{-8i}=(x^2+y^2)(x-iy)[/tex] ed a mio dire risolveresti prima e con meno conti tale equazione!
Un altro errore è [tex]z^2=(x,y)^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy=(x^2-y^2,2xy)[/tex].
Correggi i conti e controlla la potenza quarta in quanto [tex]i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1[/tex]; una volta arrivato all'espressione finale del numero complesso in x ed y, eguagli la parte reale a 0 e la parte immaginaria a -8 ed hai un sitema di 2 equazioni in 2 incognite.
Se tu volessi esemplificare [tex]-8i=z^2\overline z^4=z^2\overline z^2\overline z^2=(z\overline z)^2\overline z^2=(x^2+y^2)^2(x-iy)^2=[(x^2+y^2)(x-iy)]^2[/tex] il quale equivale a [tex]\sqrt{-8i}=(x^2+y^2)(x-iy)[/tex] ed a mio dire risolveresti prima e con meno conti tale equazione!
Grazie Infinite 
!!
Sei stato chiaro, rifaccio i conti con i tuoi suggerimenti
!!Sei stato chiaro, rifaccio i conti con i tuoi suggerimenti
Ricordati che ogni numero complesso sotto la radice n-sima ha m radici distinte la cui somma delle molteplicità algebriche è n!
Ho provato a procedere nel seguente modo:
$sqrt(-8i)=(x^2+y^2)(x-iy)^2 -> sqrt(-2^3 i)=x^3-xy^2-ix^2y+xy^2->-2sqrt(i)=x^3-ix^2y$
non so se è lecito portare fuori radice e per $sqrti$ dovrebbe essere $(+-1+i)/sqrt2$?
l'esercizio chiede di trovare tutti i numeri complessi che soddisfano l'equazione, ma sono so come fare, sono andato a rivedere la teoria ma non ci sono esempi simili,
avrei bisogno di un aiutino...
Grazie!
$sqrt(-8i)=(x^2+y^2)(x-iy)^2 -> sqrt(-2^3 i)=x^3-xy^2-ix^2y+xy^2->-2sqrt(i)=x^3-ix^2y$
non so se è lecito portare fuori radice e per $sqrti$ dovrebbe essere $(+-1+i)/sqrt2$?
l'esercizio chiede di trovare tutti i numeri complessi che soddisfano l'equazione, ma sono so come fare, sono andato a rivedere la teoria ma non ci sono esempi simili,
avrei bisogno di un aiutino...
Grazie!
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