Equazione con numeri complessi

[Maltese1]

Salve ragazzi sono Luca..qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di esercizi come questo:

Risolvere l'equazione: [tex]z^2 - 6z + 5 - 4i = 0[/tex]
ed indicare il modulo e l'argomento della sua rappresentazione in forma trigonometrica.

[walter891]

in questo caso puoi risolverla come una normale equazione di secondo grado, devi solo stare attento a come calcoli le radici dei numeri complessi. Una volta ottenute le 2 soluzioni calcoli modulo e argomento.
Ti ricordo che $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ e $arg(z)=atan(b/a)$

[Maltese1]

allora io ho provato cosi:
[tex]z=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{({\frac{b}{2}})^2-ac}}{a}[/tex]
[tex]z=3\pm\sqrt{9-5+4i}=3\pm\sqrt{4+4i}=3\pm\sqrt{4(1+i)}[/tex]
[tex]z_{1,2}=3\pm2\sqrt{1+i}[/tex]
ora come faccio a trovare [tex]|z|[/tex] definito come
[tex]|z|=\rho [\cos \varphi + i\sin\varphi][/tex]
e come faccio a trovare [tex]\rho[/tex] e [tex]\varphi[/tex] ?

[Boris1]

"walter89":Ti ricordo che $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ e $arg(z)=atan(b/a)$

esattamente come ti ha suggerito walter89.
solo attenzione quando calcoli l'angolo utilizzando l'arcotangente: se l'angolo è compreso tra $[\pi/2,3/2\pi]$ devi aggiungere $\pi$ a causa della periodicità dell'arcotangente.

Solo che prima di poter utilizzare questa formula devi calcolarti le due radici di $sqrt(1+i)$

se vuoi puoi anche procedere diversamente: basta scrivere i numeri complessi in forma algebrica, separare la parte reale da quella immaginaria, e risolvere un sistema di due equazioni imponendo che coefficiente dell'immaginario e parte reale siano uguali a 0

[Maltese1]

in quest'altro esercizio non riesco proprio a procedere!!vado in confusione con le i

[tex]z^4 - (1+i)z^2 + i = 0[/tex]

bisogna sempre indicare il modulo e l'argomento della sua rappresentazione in forma trigonometrica.
non riesco nemmeno a ricondurla ad un equazione di secondo grado, come sifa?!

[Gatto891]

[tex]y = z^2[/tex]

[faximusy]

Approfittando del thread, mi chiedevo se la mia soluzione a questo esercizio fosse corretta:

Ho un'equazione del tipo:

$2z^4+8z^2+16=0$

posto $y=z^2$ e resa monica, ottengo:

$y^2+4y+8=0$

Le radici sono:

$y=-2+-2i$

Per ricondurla nell'incognita z ho quindi pensato di effettuare una radice:
$y=z^2=-2+-2i$
$z=sqrt(-2+-2i)$

Per effettuare questa radice, trasformo il numero complesso ottenuto in forma trigonometrica ed effettuo la radice quadrata:

$z=root(4)(8) (cos( \pi/8 + k\pi) + isen(\pi/8 + k\pi))

$[ \rho=sqrt(8)]$
$[cos\vartheta=sqrt(2)/2 -> \vartheta=\pi/4]


ottengo quindi le soluzioni con $k=0,1$



Può a questo punto il mio esercizio ritenersi concluso?
E' il modo esatto per ricondurmi da $y$ a $z$?


Grazie