Equazione con numeri complessi

[Amath]

Sto cercando l'equazione:

z|z| = 2z - 1

In campo complesso... non ci sto riuscendo... qualcuno sa come si risolve? Grazie

[cavallipurosangue]

Premetto che ci saranno sicuramente altri modi, ma a me viene in mente questo:
Poni: $z=\rhoe^{i\theta}$, quindi hai:

$\rhoe^{i\theta}\cdot\rho=2\rhoe^{i\theta}-1=>(2\rho-\rho^2)e^{i\theta}=1=e^{2k\pii}:k\inZZ$
Quindi:

${(\theta=2k\pi),(2\rho-\rho^2=1):}=>(\rho-1)^2=0=>\rho=1$

Le soluzioni saranno:

$z=e^{2k\pii}:k\inZZ$

[_nicola de rosa]

Sia $z=a+jb$
$|z|=sqrt(a^2+b^2)$ per cui l'equazione si riscrive:
$(a+jb)sqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$ cioè
$a*sqrt(a^2+b^2)+jbsqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:
$a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ e
$bsqrt(a^2+b^2)=2b$.
L'equazione $bsqrt(a^2+b^2)=2b$ ha soluzione
$b=0$ oppure $sqrt(a^2+b^2)=2$
Considerando allora $sqrt(a^2+b^2)=2$ e sostituendo in $a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ si trova
$2a=2a-1$ cioè $0=-1$ il che è impossibile.
Invece se $b=0$ l'equazione diventa
$a|a|=2a-1$
Se $a>0$ l'equazione diventa $a^2-2a+1=0$ che implica $a=1$
Se $a<0$ l'equazione diventa $a^2+2a-1=0$ da cui $a=-1+-sqrt(2)$ di cui solo $a=-1-sqrt(2)$ è accettabile perchè soddisfa $a<0$

Quindi tali $z$ soddisfano l'equazione:
$z=1$ e $z=-sqrt(2)-1$

[cavallipurosangue]

Perchè io trovo solo $z=1$? Cosa c'è che sbaglio?

[Eredir]

"cavallipurosangue":Perchè io trovo solo $z=1$? Cosa c'è che sbaglio?

Facendo il passaggio $1 = e^(2 pi i)$ trascuri la possibilità $1 = -e^(pi i)$.
In questo caso si ottiene $2 rho-rho^2 = -1 => rho=1+sqrt(2)$ (poichè $rho>0$), quindi $z = (1+sqrt(2)) e^(pi i) = -1-sqrt(2)$.

[cavallipurosangue]

Hai perfettamente ragione!! Sono un pò arrugginito con i numeri complessi si vede...