Equazione con numeri complessi
Ciao a tutti, ho bisogno di aiuto in questa equazione complessa:
$ bar(z)^3z^4=-2z^2 $
L'ho iniziata a risolvere con $ | z |^7 = -2z^2 $ e considerati i moduli ho trovato $ | z |= 0 $ e $ | z |= root(5)(2) $.
Sicuramente una soluzione è 0.
Adesso mi sono bloccato e non so se sto facendo bene... Qualcuno, gentilmente, mi potrebbe spiegare come va fatto?
Grazie mille in anticipo per il vostro tempo e per la vostra pazienza nel rispondere alla mia domanda. Sono qui per imparare e sono grato per qualsiasi spiegazione che possiate offrirmi.
$ bar(z)^3z^4=-2z^2 $
L'ho iniziata a risolvere con $ | z |^7 = -2z^2 $ e considerati i moduli ho trovato $ | z |= 0 $ e $ | z |= root(5)(2) $.
Sicuramente una soluzione è 0.
Adesso mi sono bloccato e non so se sto facendo bene... Qualcuno, gentilmente, mi potrebbe spiegare come va fatto?
Grazie mille in anticipo per il vostro tempo e per la vostra pazienza nel rispondere alla mia domanda. Sono qui per imparare e sono grato per qualsiasi spiegazione che possiate offrirmi.
Risposte
Ciao Sergio_789,
Benvenuto sul forum!
Veramente, considerando che $\bar{z} z = |z|^2 $ l'equazione proposta si può riscrivere nella forma
$z|z|^6 = - 2 z^2 $
$z(|z|^6 + 2z) = 0 $
Da cui sicuramente la prima soluzione è $z_1 = 0 $. A questo punto, osservando che $z = x + iy \implies |z|^6 = (x^2 + y^2)^3 $ si ha:
$ (x^2 + y^2)^3 = - 2x - 2iy $
Siccome il primo membro è reale, tale deve essere anche il secondo, sicché necessariamente $y = 0 $, da cui si ottiene:
$ x^6 + 2x = 0 $
$ x(x^5 + 2) = 0 $
Da quest'ultima si ottengono le due soluzioni $x_1 = 0 $ (che dato che $y_1 = 0 $ fornisce ancora la soluzione $z_1 = 0 $ già trovata) e $ x_2 = - \root[5]2 $, sicché le due soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$z_1 = x_1 + iy_1 = 0 + i0 = 0 $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - \root[5]2 + i0 = - \root[5]2 $
Benvenuto sul forum!
Veramente, considerando che $\bar{z} z = |z|^2 $ l'equazione proposta si può riscrivere nella forma
$z|z|^6 = - 2 z^2 $
$z(|z|^6 + 2z) = 0 $
Da cui sicuramente la prima soluzione è $z_1 = 0 $. A questo punto, osservando che $z = x + iy \implies |z|^6 = (x^2 + y^2)^3 $ si ha:
$ (x^2 + y^2)^3 = - 2x - 2iy $
Siccome il primo membro è reale, tale deve essere anche il secondo, sicché necessariamente $y = 0 $, da cui si ottiene:
$ x^6 + 2x = 0 $
$ x(x^5 + 2) = 0 $
Da quest'ultima si ottengono le due soluzioni $x_1 = 0 $ (che dato che $y_1 = 0 $ fornisce ancora la soluzione $z_1 = 0 $ già trovata) e $ x_2 = - \root[5]2 $, sicché le due soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$z_1 = x_1 + iy_1 = 0 + i0 = 0 $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - \root[5]2 + i0 = - \root[5]2 $
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