Equazione con numeri complessi

[lisacassidy]

Ciao a tutti!
Ho la seguente equazione complessa:

$ (z^5+2-i)(Re(z)-Im(z))=0 $

Io l'ho divisa così:

$ z^5+2-i=0 rarr z=root(5)(-2+i) $

$ (Re(z)-Im(z))=0 -> a-b=0 -> a=b $ considerando $ z=a+ib $

Poi non saprei come proseguire

[Mephlip]

Ciao! Diciamo che ci sei, devi calcolare esplicitamente le radici quinte di $-2+i$ con la formula di De Moivre; trovate quelle, altre soluzioni sono quelle della forma $z=a+ai=a(1+i)$ con $a=\fr{R}(z)$.

[lisacassidy]

Per trovarmi le radici quinte di z devo scrivermela prima in forma trigonometrica giusto?

Dove:

$ r=|z|=sqrt((-2)^2+1^2)=sqrt5 $

Considerando che la parte reale è negativa e la parte immaginaria positiva, ci troviamo nel 2° quadrante del piano di Argand - Gauss:

$ [0,2pi ) -> a<0, b=qualsiasi $

$ vartheta =Arg(z)=arctan(b/a)+pi =arctan(-1/2)+pi $

[lisacassidy]

Mi trovo un pò in difficoltà a calcolare l'argomento
Nessuno riesce ad aiutarmi?

[pilloeffe]

Ciao eleonoraponti,

"eleonoraponti":Per trovarmi le radici quinte di z devo scrivermela prima in forma trigonometrica giusto?

Secondo me è più comoda la forma esponenziale $z = \rho e^{i \theta} $:

$z^5 = - 2 + i = sqrt{5} e^{i[\pi - arctan(1/2)]} $

$\rho^5 e^{i 5 \theta} = sqrt{5} e^{i[\pi - arctan(1/2)]} $

Da cui si ottiene:

$\rho = root[10]{5} $

$5 \theta = \pi - arctan(1/2) + 2k \pi$

$\theta = ((2k + 1)\pi - arctan(1/2))/5 $

ove $k = 0, 1, 2, 3, 4 $.