Equazione con numeri complessi

[alemar05]

Salve a tutti, avrei bisogno di sapere se lo svolgimento che ho fatto io è corretto oppure no.
$ (z^2|z^**|)/(4-|z|)=2z $

$ 4-|z|!= 0 -> |z|!=4 $

$ z^2|z^**|=8z-2z|z| $

Dividendo per z $ z|z^**|=8-2|z| $ se $ z!= 0 $
Per $ z= 0 $ $ -> $ $ 0=0 $
A questo punto sono passato alla forma esponenziale
$ |z|e^(ivartheta)|z^**|=8-2|z| $
$ |z|^2e^(ivartheta)=8-2|z| $
Da cui $ vartheta =0+2kpi $ e $ |z^2|+2|z|-8=0 $
Risolvendo l'equazione di secondo grado ho ottenuto $ |z|=2 $ e $ |z|=-4 $
In conclusione

$ z=2(cos(vartheta+2kpi) +isin(vartheta+2kpi)) $
$ z=-4(cos(vartheta+2kpi) +isin(vartheta+2kpi)) $

[pilloeffe]

Ciao alemar05,

Si tratta di un'equazione simile a quella di cui si è già discusso qui.

Per quanto riguarda la tua soluzione, osserverei che non può essere $|z| = - 4$, perché $|z| = \rho > 0 $...

$z = 0 $ è sicuramente una soluzione, poi in realtà pervieni all'equazione seguente:

$ z|z| = 8 - 2|z| \implies z|z| + 2|z| = 8 \implies |z|(z + 2) = 8 \implies z + 2 = frac{8}{|z|}$

Visto che $z = x + iy \implies |z| = sqrt{x^2 + y^2} $, si ha:

$(x + 2) + iy = frac{8}{sqrt{x^2 + y^2}} $

Il primo membro (complesso) può essere uguale al secondo (reale) solo se $y = 0$. Con $y= 0 $ si ottiene:

$ x + 2 = frac{8}{sqrt{x^2}} = frac{8}{|x|} $

Per $x > 0 \implies |x| = x $ si ottiene l'equazione seguente:

$ x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x + 4)(x - 2) = 0 \implies x_1 = - 4 $ e $ x_2 = 2 $

L'unica soluzione accettabile è $ x_2 = 2 $. Per $x < 0 \implies |x| = - x $ non è difficile verificare che non esistono soluzioni reali. In definitiva, le due soluzioni dell'equazione iniziale proposta sono le seguenti:

$z_1 = 0 $
$z_2 = 2 $