Equazione con i numeri complessi
Ho la seguente equazione:
$(z+3)^4 = 2*(1 + i)^4$
L'ho svolta così:
$z^4+12z^3+54z^2+108z+81 = 2(-4)$
$z^4+12z^3+54z^2+108z+89 = 0$
è un'equazione di quarto grado, non è biquadratica, non è spuria... Dove metto mano secondo voi?
Ps. So che non mi da priorità rispetto agli altri, ma domani ho l'esame quindi entro sta sera è molto gradita la soluzione, domani alle 13 molto meno
$(z+3)^4 = 2*(1 + i)^4$
L'ho svolta così:
$z^4+12z^3+54z^2+108z+81 = 2(-4)$
$z^4+12z^3+54z^2+108z+89 = 0$
è un'equazione di quarto grado, non è biquadratica, non è spuria... Dove metto mano secondo voi?
Ps. So che non mi da priorità rispetto agli altri, ma domani ho l'esame quindi entro sta sera è molto gradita la soluzione, domani alle 13 molto meno
Risposte
Ma fare la cosa più ovvia? Posto $w=z+3$ e scritto [tex]$(1+i)=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$[/tex] allora l'equazione diventa
[tex]$w^4=2\cdot\left[\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right]^4=8\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)$[/tex]
da cui le soluzioni
[tex]$w_k=\sqrt[4]{8}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$[/tex]
[tex]$w^4=2\cdot\left[\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right]^4=8\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)$[/tex]
da cui le soluzioni
[tex]$w_k=\sqrt[4]{8}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$[/tex]
Grazie del suggerimento!
Ti ringrazio di cuore Mi hai aperto gli occhi...
Ora proverò a fare altri esercizi simili con questo metodo
Ti ringrazio di cuore
Mi hai aperto gli occhi...Ora proverò a fare altri esercizi simili con questo metodo
Bé, il metodo è sempre quello quando devi trovare le radici $n$-ime di un numero complesso.
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