Equazione con i numeri complessi
Ho un'equazione del tipo:
$z^2 * bar(z)^4=-8i$
Allora sapendo che $z=(x+iy)$ e che $bar(z)=(x-iy)$ ho :
$(x+iy)^2 *bar((x-iy))^4=-8i$
Quindi sviluppando $z^2$ ho
$(x^2 -y^2 +2ixy)*bar((x-iy))^4=-8i$
Adesso per continuare devo ragionare con la forma esponenziale o devo necessariamente svilupparmi $bar((x-iy))^4$ ?
Grazie
$z^2 * bar(z)^4=-8i$
Allora sapendo che $z=(x+iy)$ e che $bar(z)=(x-iy)$ ho :
$(x+iy)^2 *bar((x-iy))^4=-8i$
Quindi sviluppando $z^2$ ho
$(x^2 -y^2 +2ixy)*bar((x-iy))^4=-8i$
Adesso per continuare devo ragionare con la forma esponenziale o devo necessariamente svilupparmi $bar((x-iy))^4$ ?
Grazie
Risposte
Io partirei fin da subito scrivendomi $z = \rho\cdote^(i\theta)$ e $-8i = 8\cdote^(i\pi)$.
Per la serie Volevamo stupirvi con effetti speciali...
Ricordando che [tex]$|z|^2=z\ \overline{z}=|\overline{z}|^2$[/tex], hai:
[tex]$z^2\ \overline{z}^4 =(z^2\ \overline{z}^2)\ \overline{z}^2$[/tex]
[tex]$=|z|^4\ \overline{z}^2$[/tex]
[tex]$= |\zeta|^4\ \zeta^2$[/tex] (con la sostituzione [tex]$\zeta =\overline{z}$[/tex])
sicché l'equazione è riconducibile a:
[tex]$|\zeta|^4\ \zeta^2 = -8\ \imath$[/tex].
A questo punto basta passare alla forma esponenziale.
Ricordando che [tex]$|z|^2=z\ \overline{z}=|\overline{z}|^2$[/tex], hai:
[tex]$z^2\ \overline{z}^4 =(z^2\ \overline{z}^2)\ \overline{z}^2$[/tex]
[tex]$=|z|^4\ \overline{z}^2$[/tex]
[tex]$= |\zeta|^4\ \zeta^2$[/tex] (con la sostituzione [tex]$\zeta =\overline{z}$[/tex])
sicché l'equazione è riconducibile a:
[tex]$|\zeta|^4\ \zeta^2 = -8\ \imath$[/tex].
A questo punto basta passare alla forma esponenziale.
Procedendo come hai fatto tu, e andando a sostiture la $z$ con $(x+iy)$, ho :
$(sqrt(x^2 +y^2))^4 +x^2+y^2 -2ixy +8i=0$
Quindi facendo i conti :
$x^4 +y^4 +2x^2y^2 +x^2 +y^2 -2ixy +8i=0$
E da qui me la posso anche risolvere (naturalmente corregimi se sbaglio)
Non capisco come posso trovare la soluzione con la forma esponenziale se non conosco l'argomento.
Grazie.
$(sqrt(x^2 +y^2))^4 +x^2+y^2 -2ixy +8i=0$
Quindi facendo i conti :
$x^4 +y^4 +2x^2y^2 +x^2 +y^2 -2ixy +8i=0$
E da qui me la posso anche risolvere (naturalmente corregimi se sbaglio)
Non capisco come posso trovare la soluzione con la forma esponenziale se non conosco l'argomento.
Grazie.
Poni [tex]$|\zeta |=r, \text{Arg} \zeta =\theta$[/tex]; in tal modo:
[tex]$|\zeta|^4\ \zeta^2=-8\imath \quad \Leftrightarrow \quad r^6\ e^{2\theta\ \imath} =8\ e^{-\frac{\pi}{2}\ \imath}$[/tex]
quindi:
[tex]$r^6=8$[/tex] e [tex]$2\theta =-\frac{\pi}{2} \mod 2\pi$[/tex]...
[tex]$|\zeta|^4\ \zeta^2=-8\imath \quad \Leftrightarrow \quad r^6\ e^{2\theta\ \imath} =8\ e^{-\frac{\pi}{2}\ \imath}$[/tex]
quindi:
[tex]$r^6=8$[/tex] e [tex]$2\theta =-\frac{\pi}{2} \mod 2\pi$[/tex]...
Capito! Da lì mi trovo tutte le radici di r nonchè le soluzione dell'equazione iniziale. Grazie!
Ricorda che [tex]$r>0$[/tex], quindi non devi estrarre radici complesse da [tex]$r^6=8$[/tex].
Certo. La peculiarità del modulo è questa. Grazie ancora.
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