Equazione con i numeri complessi.
Vorrei sapere se la risoluzione di questa equazione con i numeri complessi secondo voi ha senso o meno 
Dunque ecco l'equazione
$ bar(z^2) -iz|z|=0 $ ho riscritto tutto in forma esponenziale
$ \rho^2e^(-i2\theta)=e^(ipi/2)\rho^2e^(i\theta) $ la mia domanda è se ora avrebbe senso considerare
$ \rho=1 $ e poi l'anomalia
$ \theta=pi/6+2/3 k pi $ e trovare poi due soluzioni una per k=0 e una per k=1 (quindi due soluzioni)
E' un po' che non li faccio quindi non so bene se sia corretta questa risoluzione
Dunque ecco l'equazione
$ bar(z^2) -iz|z|=0 $ ho riscritto tutto in forma esponenziale
$ \rho^2e^(-i2\theta)=e^(ipi/2)\rho^2e^(i\theta) $ la mia domanda è se ora avrebbe senso considerare
$ \rho=1 $ e poi l'anomalia
$ \theta=pi/6+2/3 k pi $ e trovare poi due soluzioni una per k=0 e una per k=1 (quindi due soluzioni)
E' un po' che non li faccio quindi non so bene se sia corretta questa risoluzione
Risposte
Ciao Nattramn16,
Innanzitutto osserverei che $z = 0 $ è sicuramente una soluzione dell'equazione proposta, poi perché $\rho = 1 $ ? Può essere anche $\rho = 0$ tanto per fare un esempio... Forse è più comodo osservare che $z \bar z = |z|^2 $, per cui moltiplicando tutto per $\bar z $ ($z \ne 0 $) si ottiene
$bar z^3 = i|z|^3 = \rho^3 e^{i\pi/2} $
cioè
$\rho^3 e^{-3i\theta} = \rho^3 e^{i\pi/2} $
da cui
$- 3\theta = pi/2 + 2k\pi \implies \theta = -pi/6 + frac{2k\pi}{3} $
ove $k = 0, 1, 2 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Innanzitutto osserverei che $z = 0 $ è sicuramente una soluzione dell'equazione proposta, poi perché $\rho = 1 $ ? Può essere anche $\rho = 0$ tanto per fare un esempio... Forse è più comodo osservare che $z \bar z = |z|^2 $, per cui moltiplicando tutto per $\bar z $ ($z \ne 0 $) si ottiene
$bar z^3 = i|z|^3 = \rho^3 e^{i\pi/2} $
cioè
$\rho^3 e^{-3i\theta} = \rho^3 e^{i\pi/2} $
da cui
$- 3\theta = pi/2 + 2k\pi \implies \theta = -pi/6 + frac{2k\pi}{3} $
ove $k = 0, 1, 2 $ (poi le soluzioni si ripetono).
che stupido, vero hai ragione. Grazie mille, le soluzioni quindi mi vengono essere
$ z_0=e^(-i pi/6) $ $ z_1=e^(i pi3/2) $ $ z_2=e^(i pi7/6) $
$ z_0=e^(-i pi/6) $ $ z_1=e^(i pi3/2) $ $ z_2=e^(i pi7/6) $
In realtà le soluzioni sono le seguenti:
$ z_0 = \rho e^(-i pi/6) $
$ z_1 =\rho e^{i \pi/2} = i\rho $ (sono tutti i numeri sull'asse immaginario)
$ z_2 = \rho e^{i frac{7\pi}{6}} $
ove $\rho \ge 0 $
$ z_0 = \rho e^(-i pi/6) $
$ z_1 =\rho e^{i \pi/2} = i\rho $ (sono tutti i numeri sull'asse immaginario)
$ z_2 = \rho e^{i frac{7\pi}{6}} $
ove $\rho \ge 0 $
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