Equazione con i numeri complessi

sine nomine1
Buongiorno,
cercavo di risolvere la seguente equazione
$ (z+2)^4-iz-2i=0 $
come prima cosa ho sviluppato la quarta potenza del binomio ottenendo
$ z^4+8z^3+24z^2+32z+16-iz-2i=0 $
ora qui ho provato a sostituite $ z=a+ib $ ma i calcoli diventavano troppo lunghi e non riuscivo ad andare avanti. Ho chiesto a Wolfram e lui dice che dell'equazione appena scritta qui sopra la parte a sinistra si può riscrivere come:
$ (z+2)(z+(2+i))(z^2+(4-i)z+(3-2i))=0 $
potreste spiegarmi che passaggio è stato fatto? Perchè da qui in poi con la regola di annullamento del prodotto risolvere l'equazione è facile, se riuscissi a capire questo passaggio risolverei tutto molto in fretta :D
Grazie per l'attenzione.

Risposte
@melia
$ (z+2)^4-iz-2i=0 $

raccolgo $-i$ dagli ultimi 2 addendi

$ (z+2)^4-i(z+2)=0 $

raccolgo $z+2$

$(z+2)[(z+2)^3-i]=0$

il primo fattore è a posto, per il secondo fattore puoi procedere direttamente trovando le radici cubiche di $i$ oppure procedendo ad ulteriore scomposizione ricordando che $-i=i^3$ e scomponendo la somma di cubi

$(z+2)^3-i=(z+2)^3+i^3=(z+2+i)[(z+2)^2-i(z+2)+i^2]=$

$=(z+2+i)(z^2+4z+4-iz-2i-1)=(z+2+i)[z^2+(4-i)z+(3-2i)]$

riassumendo

$(z+2)(z+2+i)[z^2+(4-i)z+(3-2i)]=0$

sine nomine1
Grazie mille!! Tutto chiaro :smt023

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