Equazione con i numeri complessi

[Stenos]

Ciao a tutti, avrei molto bisogno di una mano con questa equazione, spero qualcuno posso aiutarmi!

$ |z|^4+i=-sqrt(2)bar(z)^2 $

La mia idea è stata quella di porre $ z^2 = t $ e poi usare la formula algebrica, però i risultati non tornano.

[axpgn]

Mostrali ...

[Stenos]

$ z^2=t$
$|t^2|+i=-sqrt(2)bar(t)$
$x^2+y^2+i=-sqrt(2)x+sqrt(2)yi $

Impostando il sistema ricavo
$y=sqrt(2)/2$
$x=-sqrt(2)/2$

Cioè $t=-sqrt(2)/2x +sqrt(2)/2iy$

Ricordandomi della sostituzione fatta, cerco di ricavare le radici quadrate di $t$:
$|t|=1$
$arg(t)=5/4pi$

Trovo quindi che: $z=cos(5/8pi+kpi)+isin(5/8pi+kpi)$ con $k=0,1$

[pilloeffe]

Ciao Stenos,

Farei così:

$z = x + iy \implies |z| = sqrt{x^2 + y^2} \implies |z|^4 = (x^2 + y^2)^2 $
$(\bar{z})^2 = (x - iy)^2 = x^2 - y^2 - 2ixy $

Per cui la tua equazione diventa la seguente:

$(x^2 + y^2)^2 + i = - sqrt{2}x^2 + sqrt{2}y^2 + 2sqrt{2}ixy $

Eguagliando le parti immaginarie trovi che $y = frac{1}{2sqrt{2}x}$, mentre eguagliando le parti reali trovi l'equazione seguente:

$(x^2 + y^2)^2 = - sqrt{2}x^2 + sqrt{2}y^2 $

Sostituendo in quest'ultima equazione il valore di $y$, arrivi ad una equazione in $x^4$ le cui soluzioni reali (perché $x$ deve essere reale) sono le due seguenti:

$ x_1 = frac{sqrt{sqrt{2} - 1}}{2^{3/4}} \implies y_1 = frac{1}{2^{3/4}sqrt{sqrt{2} - 1}} $
$ x_2 = - frac{sqrt{sqrt{2} - 1}}{2^{3/4}} \implies y_2 = - frac{1}{2^{3/4}sqrt{sqrt{2} - 1}} $

In definitiva le due soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:

$z_1 = x_1 + iy_1 = frac{sqrt{sqrt{2} - 1}}{2^{3/4}} + i\frac{1}{2^{3/4}sqrt{sqrt{2} - 1}} $ [tex]\simeq[/tex] $0,382683 + i0,92388 $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - frac{sqrt{sqrt{2} - 1}}{2^{3/4}} - i\frac{1}{2^{3/4}sqrt{sqrt{2} - 1}} $ [tex]\simeq[/tex] $-0,382683 - i0,92388 $