Equazione con i numeri complessi
Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questa equazione con i numeri complessi?
Z*^3-iz=0; cioè il coniugato di Z al cubo - iz=0
Scusate la scrittura non molto chiara.
Ho provato a risolverla in diversi modi ma niente da fare.
Grazie della Vostra cortese attenzione.
Fabrizio
Z*^3-iz=0; cioè il coniugato di Z al cubo - iz=0
Scusate la scrittura non molto chiara.
Ho provato a risolverla in diversi modi ma niente da fare.
Grazie della Vostra cortese attenzione.
Fabrizio
Risposte
Prova a usare la notazione esponenziale : $z = rho*e^(i theta) $ e quindi $bar z = rho e^(-itheta) $ ed anche $i=e^(ipi/2)$
Camillo non riesco proprio a capire come attraverso la funzione esponenziale si possa arrivare alla soluzione, e poi perchè i=e^(i*pigreco/2)????? Potresti farmi un esempio di soluzione? Grazie
Non vorrei sembrare supponente, ma sai che i numeri complessi possono essere rappresentati in vari modi e che si può passare da una rappresentazione all'altra senza particolare difficoltà? Ecco, la rappresentazione esponenziale è uno di questi. Ti consiglio vivamente di riguardarti bene la teoria prima di iniziare a fare gli esercizi, perché se non ti sono chiare queste cose basilari non vedo come tu possa risolverli agevolmente.
Quanto a $i=e^(ipi/2)$, se conosci la formula di Eulero ($e^(ix)=cosx+isenx$) non dovresti aver problemi a capire perché vale quella relazione. Sostituisci $pi/2$ a $x$ e ottieni....
PS: edita le formule come spiegato qui: http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Quanto a $i=e^(ipi/2)$, se conosci la formula di Eulero ($e^(ix)=cosx+isenx$) non dovresti aver problemi a capire perché vale quella relazione. Sostituisci $pi/2$ a $x$ e ottieni....
PS: edita le formule come spiegato qui: http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Carissimi lobacevskij e Camillo io ho scritto la formula nel box aggiungi formula. In anteprima mi compare la formula corretta. Come faccio ad inserirla nel messaggio? Qui si dice: " Se la formula che compare in Anteprima corrisponde a quella voluta, fai click su Inserisci (nel messaggio del forum)" Ma dov'è il bottone "inserisci" nel messaggio del forum?
Comunque ti invio in allegato ti invio i calcoli che io ho fatto ed il punto in cui mi fermo.
Comunque ti invio in allegato ti invio i calcoli che io ho fatto ed il punto in cui mi fermo.
Nessuno è disponibile a darmi una mano?
Grazie
Grazie
Dunque, l'equazione è questa $\bar{z}^3-iz=0$. Ponendo $z=\rho e^{i\theta}$ si ha
$$\rho^3 e^{-3i\theta}-i\rho e^{i\theta}=0\ \Rightarrow\ \rho=0,\quad \rho^2 e^{-3i\theta}-i e^{i\theta}=0$$
Dalla prima abbiamo la soluzione $\rho=0\ \Rightarrow\ z=0$. La seconda si può scrivere come
$$\rho^2=i e^{4i\theta}=i\cos(4\theta)-\sin(4\theta)$$
Ora, dal momento che a destra abbiamo un numero complesso e a sinistra un numero reale $\ge 0$, segue che
$$\cos(4\theta)=0,\qquad -\sin(4\theta)=\rho^2$$
Dalla prima si hanno le soluzioni, nell'intervallo $[0,2\pi]$, seguenti
$$4\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \Rightarrow\ \theta_k=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4},\quad k=0,\ldots,7$$
Sostituendo questi valori nella seconda si ha
$$\rho^2=-\sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\cos(k\pi)=-(-1)^k,\quad k=0,\ldots,7$$
Pertanto le uniche scelte accettabili sono quelle per $k=1,\ 3,\ 5,\ 7$ dalle quali si ricava $\rho^2=1\ \Rightarrow\ \rho=1$ e quindi le soluzioni
$$z_k=e^{i\theta_k}=e^{i(\pi/2+k\pi/4)},\quad k=1,\ 3,\ 5,\ 7$$
da cui
$$z_1=e^{i\cdot 3\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right),\qquad z_3=e^{i\cdot 5\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right),\\ z_5=e^{i\cdot 7\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right),\qquad z_7=e^{i\cdot 9\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right)$$
$$\rho^3 e^{-3i\theta}-i\rho e^{i\theta}=0\ \Rightarrow\ \rho=0,\quad \rho^2 e^{-3i\theta}-i e^{i\theta}=0$$
Dalla prima abbiamo la soluzione $\rho=0\ \Rightarrow\ z=0$. La seconda si può scrivere come
$$\rho^2=i e^{4i\theta}=i\cos(4\theta)-\sin(4\theta)$$
Ora, dal momento che a destra abbiamo un numero complesso e a sinistra un numero reale $\ge 0$, segue che
$$\cos(4\theta)=0,\qquad -\sin(4\theta)=\rho^2$$
Dalla prima si hanno le soluzioni, nell'intervallo $[0,2\pi]$, seguenti
$$4\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \Rightarrow\ \theta_k=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4},\quad k=0,\ldots,7$$
Sostituendo questi valori nella seconda si ha
$$\rho^2=-\sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\cos(k\pi)=-(-1)^k,\quad k=0,\ldots,7$$
Pertanto le uniche scelte accettabili sono quelle per $k=1,\ 3,\ 5,\ 7$ dalle quali si ricava $\rho^2=1\ \Rightarrow\ \rho=1$ e quindi le soluzioni
$$z_k=e^{i\theta_k}=e^{i(\pi/2+k\pi/4)},\quad k=1,\ 3,\ 5,\ 7$$
da cui
$$z_1=e^{i\cdot 3\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right),\qquad z_3=e^{i\cdot 5\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right),\\ z_5=e^{i\cdot 7\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right),\qquad z_7=e^{i\cdot 9\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right)$$
Grazie mille, sei stato chiarissimo. Complimenti!!!!!! non era per niente semplice!
Io lo svolgerei così a partire da $rho^3*e^(-i3theta)-rhoe^(i(theta+pi/2))=0$.
Di conseguenza $ rho =0 rarr z=0 $ e resta da risolvere :$rho^2-e^(i(4theta+pi/2))=0 $ da cui $ rho^2= e^(i(4theta+pi/2))$
che impone sia $rho=1 $ e $4theta +pi/2= 2kpi ; k in ZZ $ da cui $theta= -pi/8+kpi/2$.
Le soluzioni distinte sono $ theta = -pi/8; 3pi/8; 7pi/8;11pi/8 $ che però mi sembrano differenti da quelle di ciampax
Di conseguenza $ rho =0 rarr z=0 $ e resta da risolvere :$rho^2-e^(i(4theta+pi/2))=0 $ da cui $ rho^2= e^(i(4theta+pi/2))$
che impone sia $rho=1 $ e $4theta +pi/2= 2kpi ; k in ZZ $ da cui $theta= -pi/8+kpi/2$.
Le soluzioni distinte sono $ theta = -pi/8; 3pi/8; 7pi/8;11pi/8 $ che però mi sembrano differenti da quelle di ciampax
Ha ragione Camillo, in quanto Ciampax ha sbagliato a risostituire gli angoli $\theta_k$ nella soluzione finale.
Complimenti per la soluzione elegante, Camillo.
Complimenti per la soluzione elegante, Camillo.
Sì, ho sostituito con $4\theta$ invece ch con $\theta$. Sorry.
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