Equazione con alcune richieste
$ sqrt(x - 3) - log x = 0 $
innanzitutto il dominio è $ (0, +oo) $?
innanzitutto il dominio è $ (0, +oo) $?
Risposte
Sì, se le tonde escludono l'estremo, nella tua notazione.
EDIT: ehmmm... Non badate a quel che ho scritto qui sopra!
EDIT: ehmmm... Non badate a quel che ho scritto qui sopra!
Cioè, oddio possibile che non sappia questo?, la radice è definita anche nel campo reale per numeri negativi???
cioe Amel, non ho capito a cosa riferisci la tua eforia 
per x=1 ad esempio sotto radice viene -2...
ma la radice ammette solo come argomento un n >= 0
Lo dico che non devo intervenire sui topic minori, non ci uso la dovuta attenzione... :°
hai ragione..allora il dominio va da 3 a + infinito...ok bene : ) ce l'abbiamo fatta
Eh già, comunque, voglio dire a Hilbert questo: sei comunque un grande (non ti sto prendendo in giro, sul serio)! Non si sbaglia mai quando si vuole aiutare qualcuno (e io ne so qualcosa visto che mi hai già chiarito una cosa in un altro post...)!
Scusate se mi intrometto ma non devo imporre le condizioni:
$ x-3>=0 $ la condizione della radice
$ x>0 $ la condizione del logaritmo
il che mi porta a dire che il dominio è :
$ [3;+∞) $
con 3 incluso
??
MCM
$ x-3>=0 $ la condizione della radice
$ x>0 $ la condizione del logaritmo
il che mi porta a dire che il dominio è :
$ [3;+∞) $
con 3 incluso
??
MCM
sì sì infatti è quello che dicevo...
ora...determinare il numero delle soluzioni dell'equazioni...senza darmi il risultato, controllatemi questo pezzo che ho fatto...secondo voi basta fare $ (x-3)^(1/2) - log x > 0 $ per risolvere la forma indeterminata come un confronto fra infiniti, manca qualcosa? fino qua è giusto che ne pensate? voglio dire quel pezzo posso dimostrarlo che è maggiore di zero perchè so che l'esponenziale batte il logaritmo?
http://watchofdeath.altervista.org/neq.jpg
http://watchofdeath.altervista.org/neq.jpg
No aspetta calma..
se ho capito bene tu vuoi sapere quante soluzioni ha l'equazione,giusto?
non ho capito allora perchè hai scritto la disequazione..
ad ogni modo,io farei così.
Se consideri
$ sqrt(x-3)-log(x) $
come una funzione,sapere quante soluzioni ammette (in R) equivale a "contare" il numero di intersezioni della funzione con l'asse delle ascisse
per praticità io scriverei il tutto come
$ sqrt(x-3)=log(x) $
il che basilarmente non cambia proprio nulla,ma la scrittura sa ad indicare che le n soluzioni dell'equazioni saranno le n intersezioni tra le due curve (risp $ sqrt(x-3) $ e $ log(x) $ )
graficamente ci si rende subito conto che si ha una sola intersezione,quindi l'equazione di partenza ammette una soluzione in R.
spero di non averti confuso...
MCM
se ho capito bene tu vuoi sapere quante soluzioni ha l'equazione,giusto?
non ho capito allora perchè hai scritto la disequazione..
ad ogni modo,io farei così.
Se consideri
$ sqrt(x-3)-log(x) $
come una funzione,sapere quante soluzioni ammette (in R) equivale a "contare" il numero di intersezioni della funzione con l'asse delle ascisse
per praticità io scriverei il tutto come
$ sqrt(x-3)=log(x) $
il che basilarmente non cambia proprio nulla,ma la scrittura sa ad indicare che le n soluzioni dell'equazioni saranno le n intersezioni tra le due curve (risp $ sqrt(x-3) $ e $ log(x) $ )
graficamente ci si rende subito conto che si ha una sola intersezione,quindi l'equazione di partenza ammette una soluzione in R.
spero di non averti confuso...
MCM
si dovresti spiegarmi meglio quello che hai detto. Io facevo con un procedimento analitico. Calcolando il limite agli estremi del dominio e vedendo che da una parte è <0 e dall'altra >0 e poi calcolavo il segno della derivata prima che se è >0 la fnx è crescente quindi c'è un solo zero.
Si il tuo metodo è giusto.
L'unica precisazione che c'è da fare è magari sulla forma.
Nel tuo caso ,calcolando il limiti agli estremi del dominio (o meglio il limite per +∞,dato che per x=3 la f(x) è definita)si nota che :
$ x=3 ; f(x)=-log(3) $
$ x => +∞ ; f(x) => +∞ $
essendo f(x) composizione di funzioni continue (radice e logaritmo) anche f(x) è continua,il che implica che f(x) attraverserà ALMENO una volta l'asse delle ascisse.
derivando f(x) e poi ponendo:
$ f'(x) > 0 $
noto che la derivata è sempre positiva,il che implica che f(x) è monotona crescente quindi ho l'attraversamento dell'asse delle x in un solo punto (e conseguentemente una sola soluzione dell'equazione).
Questo è quello che hai fatto tu.
Io per praticità vedo il problema dal punto di vista grafico,infatti basta portare a dx dell'uguaglianza il log(x) cadendo nella scrittura:
$sqrt(x-3)=log(x) $
che è ciò che ho scritto io prima,il che equivale a valutare se le due curve in questione si intersecano in uno o più punti,il numero n di intersezioni (se si intersecano)stanno a indicare le n soluzioni dell'equazione di partenza.
sei d'accordo che scrivere:
$sqrt(x-3)-log(x)=0 $ o $sqrt(x-3)=log(x) $
è la stessa cosa?
in questo caso se provi a disegnare le due curve "sovrapposte" a mano (bastano pochi punti) o se vuoi,per maggior precisione,con un software ti accorgerai che le due curve si intersecano solo in un punto
ad ogni modo,la soluzione da te suggerita rimane quella più corretta dal punto di vista didattico,andando a calcolarti il segno,i limiti,la crescita etc...
ciò che ti ho suggerito io è un modo veloce per contare "con le dita" le soluzioni di un'equazione partendo dal grafico di due curve "base"
(radice e log)
poi ognuno fa come si trova meglio!
spero che ora sia più chiaro.
MCM
L'unica precisazione che c'è da fare è magari sulla forma.
Nel tuo caso ,calcolando il limiti agli estremi del dominio (o meglio il limite per +∞,dato che per x=3 la f(x) è definita)si nota che :
$ x=3 ; f(x)=-log(3) $
$ x => +∞ ; f(x) => +∞ $
essendo f(x) composizione di funzioni continue (radice e logaritmo) anche f(x) è continua,il che implica che f(x) attraverserà ALMENO una volta l'asse delle ascisse.
derivando f(x) e poi ponendo:
$ f'(x) > 0 $
noto che la derivata è sempre positiva,il che implica che f(x) è monotona crescente quindi ho l'attraversamento dell'asse delle x in un solo punto (e conseguentemente una sola soluzione dell'equazione).
Questo è quello che hai fatto tu.
Io per praticità vedo il problema dal punto di vista grafico,infatti basta portare a dx dell'uguaglianza il log(x) cadendo nella scrittura:
$sqrt(x-3)=log(x) $
che è ciò che ho scritto io prima,il che equivale a valutare se le due curve in questione si intersecano in uno o più punti,il numero n di intersezioni (se si intersecano)stanno a indicare le n soluzioni dell'equazione di partenza.
sei d'accordo che scrivere:
$sqrt(x-3)-log(x)=0 $ o $sqrt(x-3)=log(x) $
è la stessa cosa?
in questo caso se provi a disegnare le due curve "sovrapposte" a mano (bastano pochi punti) o se vuoi,per maggior precisione,con un software ti accorgerai che le due curve si intersecano solo in un punto
ad ogni modo,la soluzione da te suggerita rimane quella più corretta dal punto di vista didattico,andando a calcolarti il segno,i limiti,la crescita etc...
ciò che ti ho suggerito io è un modo veloce per contare "con le dita" le soluzioni di un'equazione partendo dal grafico di due curve "base"
(radice e log)
poi ognuno fa come si trova meglio!
spero che ora sia più chiaro.
MCM
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