Equazione complessa. Esercizio corretto?

[21zuclo]

Ciao, stavo facendo un ripasso, sulle equazioni complesse. Purtroppo non ho la soluzione. L'esercizio è corretto?

$ z^4=|z|^2+1 $

sono passato in forma esponenziale, tenendo sempre presente che $ |z|=\rho>0 $

$ \rho^4 exp(4i\theta)=\rho^2+1 $

$ { ( \rho^4=\rho^2+1 ),( 4\theta=0+2k\pi ):} $

svolgo l'equazione $ \rho^4-\rho^2-1=0 $ ponendo $ \rho^2=t $

e mi trovo con $ t_1= (1+\sqrt(5))/2 \vee t_2=(1-\sqrt(5))/2 $

posso solamente prendere $ t_1= (1+\sqrt(5))/2 $ in quanto come detto prima $\rho>0$

quindi $ \rho^2=(1+\sqrt(5))/2\to \rho = \sqrt((1+\sqrt(5))/2) $

per l'angolo si ha $ 4\theta=2\kpi\to \theta=\pi/2k $

quindi $ 0\leq \pi/2k<2\pi \to 0\leq k<4 $

le soluzioni sono $ z_k=\sqrt((1+\sqrt(5))/2) exp(i \pi/2k), k=0,1,2,3 $

È corretto?

[gugo82]

Ma anche senza fare troppo casino…

Da $z^4 = |z|^2 + 1$ ricavi che $z^4$ è reale positivo, dunque $z$ o è reale o è immaginario puro.
In entrambi i casi, l’unico coefficiente $a$ che ti serve per individuare $z$ (i.e., $a=text(Re)(z)$ se $z$ è reale o $a=text(Im)(z)$ se $z$ è immaginario puro) soddisfa l’equazione algebrica:
\[
a^4 - a^2 -1 =0
\]
che è biquadratica ed ha soluzioni $a=+- sqrt((1+ sqrt(5))/2)$.
Dunque le soluzioni dell’equazione sono $z= +- sqrt((1+ sqrt(5))/2),\ +- sqrt((1+ sqrt(5))/2) * i$.

[pilloeffe]

Ciao 21zuclo,

"21zuclo":È corretto?

Direi di no, c'è un errore di scrittura delle quattro soluzioni, che sono le seguenti:

$ z_k=\sqrt{\frac{1+\sqrt(5)}{2}}exp(i \pi/2k) \qquad k=0,1,2,3. $

[gugo82]

Gli sono saltate le parentesi nell’ultima formula.
Il calcolo è corretto.