Equazione complessa e dimostrazione disuguaglianza
salve a tutti. ho bisogno di aiuto su questi due esercizi.
1) risolvere sul campo complesso: $ |z|Re(z)=sqrt(5)(z-2ibar(z) -4) $
2) dimostrare la seguente disuguaglianza: $ arcsin(2/3 ) -arcsin(1/3 ) leq 1/sqrt(5) $
per quanto riguarda il primo, ho operato la sostituzione z=x+iy. svolgendo i calcoli, trovo y=2x, ma quando vado a cercare la x ottengo un'equazione di secondo grado con discriminante negativo
per il secondo, ho tentato di approssimare con la derivata, ma non ottengo niente di buono...
vi ringrazio per l'aiuto
1) risolvere sul campo complesso: $ |z|Re(z)=sqrt(5)(z-2ibar(z) -4) $
2) dimostrare la seguente disuguaglianza: $ arcsin(2/3 ) -arcsin(1/3 ) leq 1/sqrt(5) $
per quanto riguarda il primo, ho operato la sostituzione z=x+iy. svolgendo i calcoli, trovo y=2x, ma quando vado a cercare la x ottengo un'equazione di secondo grado con discriminante negativo
per il secondo, ho tentato di approssimare con la derivata, ma non ottengo niente di buono...
vi ringrazio per l'aiuto
Risposte
[mod="Steven"]Ciao emmeffe90, ti chiederei di modificare il titolo del topic, in modo da renderlo più attinente all'argomento dello stesso
(come regolamento prescrive).
Grazie.
[/mod]
(come regolamento prescrive).
Grazie.
[/mod]
"emmeffe90":
salve a tutti. ho bisogno di aiuto su questi due esercizi.
[...]
2) dimostrare la seguente disuguaglianza: $ arcsin(2/3 ) -arcsin(1/3 ) leq 1/sqrt(5) $
[...]
Un modo potrebbe essere:
[tex]\displaystyle \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)= \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \text{d}x[/tex]. A questo punto, studierei molto velocemente la funzione [tex]\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x\in \left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right][/tex]. In particolare andrei alla ricerca del massimo [tex]M[/tex] di [tex]f(x)[/tex] nell'intervallo considerato. Una volta determinato [tex]M[/tex] procedi così:
Poichè [tex]\displaystyle f(x)\le M\quad \forall x\in\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right][/tex] allora:
[tex]\displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}f(x) \text{d}x\le M\int_{\frac{1}{3}}^\frac{2}{3} \text{d}x[/tex]. Prova a svolgere i calcoli per bene
non c'è un altro modo per dimostrare la disuguaglianza? magari senza integrali?
boh...l'equazione continua a ridarmi la stessa cosa... vi posto il mio svolgimento, magari vedete un errore che io non riesco a vedere
$|z|Re(z)=sqrt(5)(z-2ibar(z)-4)$
pongo $z=x+iy$, quindi $|z|=sqrt(x^2+y^2)$, $bar(z)=x-iy$, $Re(z)=x$
$sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x+iy-2i(x-iy)-4)=sqrt(5)(x+iy-2ix-2y-4)$
$ { ( sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x-2y-4) ),( sqrt(5)(y-2x)=0 ):} $ , quindi
$ { ( y=2x ),( sqrt(x^2+4x^2)x=sqrt(5)(x-4x-4) ):} $ , cioè $x^2+3x+4=0$
e a questo punto mi blocco. suggerimenti?
$|z|Re(z)=sqrt(5)(z-2ibar(z)-4)$
pongo $z=x+iy$, quindi $|z|=sqrt(x^2+y^2)$, $bar(z)=x-iy$, $Re(z)=x$
$sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x+iy-2i(x-iy)-4)=sqrt(5)(x+iy-2ix-2y-4)$
$ { ( sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x-2y-4) ),( sqrt(5)(y-2x)=0 ):} $ , quindi
$ { ( y=2x ),( sqrt(x^2+4x^2)x=sqrt(5)(x-4x-4) ):} $ , cioè $x^2+3x+4=0$
e a questo punto mi blocco. suggerimenti?
"emmeffe90":
boh...l'equazione continua a ridarmi la stessa cosa... vi posto il mio svolgimento, magari vedete un errore che io non riesco a vedere
$|z|Re(z)=sqrt(5)(z-2ibar(z)-4)$
pongo $z=x+iy$, quindi $|z|=sqrt(x^2+y^2)$, $bar(z)=x-iy$, $Re(z)=x$
$sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x+iy-2i(x-iy)-4)=sqrt(5)(x+iy-2ix-2y-4)$
$ { ( sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x-2y-4) ),( sqrt(5)(y-2x)=0 ):} $
Non capisco perchè fai il sistema con $sqrt(5)(y-2x)=0$
perché a secondo membro ho $sqrt(5)(x+iy-2ix-2y-4)=sqrt(5)(x-2y-4+i(y-2x))$. a quel punto uguaglio la parte reale a primo membro con la parte reale a secondo membro (che è la prima equazione del sistema) e la parte immaginaria a primo membro (0) con la parte immaginaria a secondo membro (cioè $sqrt(5)(y-2x)$). perlomeno è così che ho imparato a risolvere le equazioni su $CC$. dov'è che sbaglio?
e riguardo la disuguaglianza?
e riguardo la disuguaglianza?
"emmeffe90":
boh...l'equazione continua a ridarmi la stessa cosa... vi posto il mio svolgimento, magari vedete un errore che io non riesco a vedere
$|z|Re(z)=sqrt(5)(z-2ibar(z)-4)$
pongo $z=x+iy$, quindi $|z|=sqrt(x^2+y^2)$, $bar(z)=x-iy$, $Re(z)=x$
$sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x+iy-2i(x-iy)-4)=sqrt(5)(x+iy-2ix-2y-4)$
$ { ( sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x-2y-4) ),( sqrt(5)(y-2x)=0 ):} $ , quindi
$ { ( y=2x ),( sqrt(x^2+4x^2)x=sqrt(5)(x-4x-4) ):} $ , cioè $x^2+3x+4=0$
e a questo punto mi blocco. suggerimenti?
Va bene.
Giustissimo uguagliare parte reale e parte immaginaria e quindi hai $y=2x$ e $ sqrt(x^2+y^2)x=sqrt(5)(x-2y-4) $
che diventa $ sqrt(x^2+4x^2)x=sqrt(5)(x-4x-4) $ cioè $sqrt(5x^2)x=sqrt(5)(-3x-4) $
che fa $sqrt(5)*|x|*x=sqrt(5)(-3x-4)$ e quindi $|x|*x=(-3x-4)$
Ora devi discutere il valore di x.
Se $x>0$ allora $x^2=-3x-4$ e dunque $x^2+3x+4=0$.
Il delta vale $9-16$ che è negativo e quindi non ci dà soluzioni.
Se invece $x<0$ allora hai $-x^2=-3x-4$ cioè $x^2-3x-4=0$.
Il delta vale $9+16=25$ e quindi trovi le soluzioni....
grazie mille, continuavo a scrivere $sqrt(x^2)=x$ e mi perdevo le altre soluzioni.
così invece ottengo $x=-1$ e $x=4$; visto che considero $x<0$ accetto solo $x=-1$ e ottengo una sola soluzione: $z=-1-2i$. giusto?
così invece ottengo $x=-1$ e $x=4$; visto che considero $x<0$ accetto solo $x=-1$ e ottengo una sola soluzione: $z=-1-2i$. giusto?
"emmeffe90":
grazie mille, continuavo a scrivere $sqrt(x^2)=x$ e mi perdevo le altre soluzioni.
così invece ottengo $x=-1$ e $x=4$; visto che considero $x<0$ accetto solo $x=-1$ e ottengo una sola soluzione: $z=-1-2i$. giusto?
Esatto e così hai trovato la soluzione
Ti ringrazio ancora. Visto che ci sono, posto anche il procedimento che ho provato a seguire per svolgere il secondo esercizio.
Ho provato ad approssimare così: $ arcsin(2/3) ~= arcsin(sqrt(2)/2)+(2/3-sqrt(2)/2)/sqrt(1-2/4)= pi/4+(4-3sqrt(2))/6*sqrt(2) $ ;
$ arcsin(1/3) ~= arcsin(sqrt(2)/2)+(1/3-sqrt(2)/2)/sqrt(1-2/4)= pi/4+(2-3sqrt(2))/6*sqrt(2) $ , da cui ottengo
$arcsin(2/3)-arcsin(1/3)~=pi/4+2sqrt(2)/3-1-pi/4-sqrt(2)/3+1=sqrt(2)/3<=1/sqrt(5)$, ed elevando al quadrato ambo i membri mi ridà $2/9<=1/sqrt(5)$, ovvero $10<=9$.
Suggerimenti?
Ho provato ad approssimare così: $ arcsin(2/3) ~= arcsin(sqrt(2)/2)+(2/3-sqrt(2)/2)/sqrt(1-2/4)= pi/4+(4-3sqrt(2))/6*sqrt(2) $ ;
$ arcsin(1/3) ~= arcsin(sqrt(2)/2)+(1/3-sqrt(2)/2)/sqrt(1-2/4)= pi/4+(2-3sqrt(2))/6*sqrt(2) $ , da cui ottengo
$arcsin(2/3)-arcsin(1/3)~=pi/4+2sqrt(2)/3-1-pi/4-sqrt(2)/3+1=sqrt(2)/3<=1/sqrt(5)$, ed elevando al quadrato ambo i membri mi ridà $2/9<=1/sqrt(5)$, ovvero $10<=9$.
Suggerimenti?
"emmeffe90":
Ti ringrazio ancora. Visto che ci sono, posto anche il procedimento che ho provato a seguire per svolgere il secondo esercizio.
Ho provato ad approssimare così: $ arcsin(2/3) ~= arcsin(sqrt(2)/2)+(2/3-sqrt(2)/2)/sqrt(1-2/4)= pi/4+(4-3sqrt(2))/6*sqrt(2) $ ;
$ arcsin(1/3) ~= arcsin(sqrt(2)/2)+(1/3-sqrt(2)/2)/sqrt(1-2/4)= pi/4+(2-3sqrt(2))/6*sqrt(2) $ , da cui ottengo
$arcsin(2/3)-arcsin(1/3)~=pi/4+2sqrt(2)/3-1-pi/4-sqrt(2)/3+1=sqrt(2)/3<=1/sqrt(5)$, ed elevando al quadrato ambo i membri mi ridà $2/9<=1/sqrt(5)$, ovvero $10<=9$.
Suggerimenti?
Spiegami come mai approssimi l'arcoseno in quel modo
è un procedimento che ho trovato sul mio libro di testo. Ti riporto cosa c'è scritto:
Che ne pensi?
Normalmente, non è immediato il calcolo del valore numerico di una funzione in un punto. Al contrario, è sempre elementare calcolare i valori numerici delle funzioni y=mx+q. L'idea è quella di "sostituire" una funzione data con l'equazione della sua retta tangente in un punto di ascissa $x_0$, con $x_0$ vicino al punto x in cui si vuole calcolare la funzione. [...] La quantità $f(x_0+f'(x_0)(x-x_0)$ rappresenta un'approssimazione di f(x); scriveremo: $f(x)≅f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
Che ne pensi?
Ciò che scrivi è vero e non è altro che lo sviluppo di Taylor arrestato alla derivata prima.
Il fatto è che si tratta di un'approssimazione e a tale apporssimazione va aggiunto un resto che ti può creare (ad esempio in questo caso) qualche problema.
Se non sai cos'è lo sviluppo di Taylor lo trovi facilmente su Wikipedia.
Il tuo tentativo di dimostrazione quindi, così com'è, non può che essere sbagliato
Il fatto è che si tratta di un'approssimazione e a tale apporssimazione va aggiunto un resto che ti può creare (ad esempio in questo caso) qualche problema.
Se non sai cos'è lo sviluppo di Taylor lo trovi facilmente su Wikipedia.
Il tuo tentativo di dimostrazione quindi, così com'è, non può che essere sbagliato
A questo punto non ho idea su come andare avanti. Ti sarei grato se mi dessi anche solo una traccia... Grazie in anticipo
"emmeffe90":
A questo punto non ho idea su come andare avanti. Ti sarei grato se mi dessi anche solo una traccia... Grazie in anticipo
Diciamo che anche io, come ti ha detto mathematico, sarei passato dall'integrale (anche se con un ragionamento un po' diverso.
Altrimenti ci dovrei pensare un po' su.
Ora è tardi e vado a letto, ma ti prometto che domani in giornata provo a dargli un'occhiata.
Ciao
"emmeffe90":
A questo punto non ho idea su come andare avanti. Ti sarei grato se mi dessi anche solo una traccia... Grazie in anticipo
Penso di aver trovato la soluzione.
Domani te ne parlo meglio.
Per ora ti dico che secondo me è sufficiente applicare il teorema di Lagrange nell'intrvallo $[1/3,2/3]$
Come promesso ieri ti scrivo una possibile soluzione.
Usiamo il teorema di Lagrange (si studia addirittura alle superiori).
Esso dice che data una funzione $f(x)$ continua nell'intervallo $[a,b]$ e derivabile nell'intervallo $(a,b)$,
allora esiste $c\in(a,b)$ tale che $(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)$.
nel nostro caso prendiamo $f(x)=arcsen(x)$
$a=1/3$ , $b=2/3$.
Abbiamo quindi che esiste $c\in(1/3,2/3)$ tale che $(arcsen(2/3)-arcsen(1/3))/(2/3-1/3)=f'(c)$ e quindi $arcsen(2/3)-arcsen(1/3)=(f'(c))/3$.
Per mostrare quindi che $arcsen(2/3)-arcsen(1/3)<=1/sqrt(5)$ basta mostrare che $(f'(c))/3<=1/sqrt(5)$ per ogni $c\in(1/3,2/3)$.
Andiamo allora a vedere per quali valori di x si ha $f'(x)<=3/sqrt(5)$.
Ora $f'(x)=1/sqrt(1-x^2)$ e quindi $1/sqrt(1-x^2)<=3/sqrt(5)$ cioè elevando al quadrato $1/(1-x^2)<=9/5$ cioè $5<=9-9x^2$ e quindi $9x^2<=4$ e quindi $x^2<=4/9$ e quindi $-2/3
Chiaro?
Usiamo il teorema di Lagrange (si studia addirittura alle superiori).
Esso dice che data una funzione $f(x)$ continua nell'intervallo $[a,b]$ e derivabile nell'intervallo $(a,b)$,
allora esiste $c\in(a,b)$ tale che $(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)$.
nel nostro caso prendiamo $f(x)=arcsen(x)$
$a=1/3$ , $b=2/3$.
Abbiamo quindi che esiste $c\in(1/3,2/3)$ tale che $(arcsen(2/3)-arcsen(1/3))/(2/3-1/3)=f'(c)$ e quindi $arcsen(2/3)-arcsen(1/3)=(f'(c))/3$.
Per mostrare quindi che $arcsen(2/3)-arcsen(1/3)<=1/sqrt(5)$ basta mostrare che $(f'(c))/3<=1/sqrt(5)$ per ogni $c\in(1/3,2/3)$.
Andiamo allora a vedere per quali valori di x si ha $f'(x)<=3/sqrt(5)$.
Ora $f'(x)=1/sqrt(1-x^2)$ e quindi $1/sqrt(1-x^2)<=3/sqrt(5)$ cioè elevando al quadrato $1/(1-x^2)<=9/5$ cioè $5<=9-9x^2$ e quindi $9x^2<=4$ e quindi $x^2<=4/9$ e quindi $-2/3
Chiaro?
Chiarissimo, grazie mille ancora. Al teorema di Lagrange proprio non ci avevo pensato.
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