Equazione complessa di secondo grado
Sia $zinCC$. Risolvere l'equazione $z^2-5iz-7-i=0$.
Pongo $z=a+ib$.
$(a+ib)^2-5i(a+ib)-7-i=0$
$(a^2-b^2+5b-7)+i(2ab-5a-1)$
$\{(a^2-b^2+5b-7 = 0),(2ab-5a-1= 0):}$
$a=1/(2b-5)$
$1/(2b-5)^2-b^2+5b-7=0$
$-4b^4+40b^3-153b^2+265b-174=0$
Come posso trovare le soluzioni di questa equazione?
Pongo $z=a+ib$.
$(a+ib)^2-5i(a+ib)-7-i=0$
$(a^2-b^2+5b-7)+i(2ab-5a-1)$
$\{(a^2-b^2+5b-7 = 0),(2ab-5a-1= 0):}$
$a=1/(2b-5)$
$1/(2b-5)^2-b^2+5b-7=0$
$-4b^4+40b^3-153b^2+265b-174=0$
Come posso trovare le soluzioni di questa equazione?
Risposte
Anche se è un po' scocciante puoi farlo con Ruffini
$P(b)=4b^4-40b^3+153b^2-265b+174$
Basta fare anche pochi tentativi, visto che si ha $P(2)=0$
$P(b)=4b^4-40b^3+153b^2-265b+174$
Basta fare anche pochi tentativi, visto che si ha $P(2)=0$
E per grande fortuna anche $x=3 $ è una radice della equazione e quindi sei ricondotto a risolvere una equazione di secondo grado 
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Mi pare più semplice se si utilizza con la normale formula risolutiva delle equazioni di secondo grado $z_(1,2)=(5i+-sqrt(-25+28+4i))/2=(5i+-sqrt(3+4i))/2$
Per calcolare $sqrt(3+4i)$ calcolo a parte $(a+ib)^2=3+4i$, ottengo $a+ib=+-(2+i)$,
tornando alla formula $z_(1,2)==(5i+-(2+i))/2$ che mi dà i due risultati cercati $z_1=-1+2i$ e $z_2=1+3i$.
In questo modo non serve Ruffini, ma basta semplicemente risolvere un'equazione biquadratica, che si può risolvere anche in caso di soluzioni irrazionali.
Per calcolare $sqrt(3+4i)$ calcolo a parte $(a+ib)^2=3+4i$, ottengo $a+ib=+-(2+i)$,
tornando alla formula $z_(1,2)==(5i+-(2+i))/2$ che mi dà i due risultati cercati $z_1=-1+2i$ e $z_2=1+3i$.
In questo modo non serve Ruffini, ma basta semplicemente risolvere un'equazione biquadratica, che si può risolvere anche in caso di soluzioni irrazionali.
Giusto! In effetti era semplice...grazie 
prego
Mi lancio ora in un'equazione di terzo grado...
$z^3=1+i$
$|1+i|=sqrt(2)$
$(1+i)=sqrt(2)(1/sqrt(2)+i/sqrt(2))=sqrt(2)(cos(pi/4)+isin(pi/4))$
$(1+i)^3=root(6)(2)(cos(pi/12+(8kpi)/12)+isin(pi/12+(8kpi)/12))$ $kin{0,1,2}$
Ma arrivato a questo punto non riesco a procedere visto che non conosco ad esempio $cos(pi/12)$.
Tuttavia conosco il termine con $k=1$...quindi sono in grado di trovare una radice, e so che le altre due radici sono gli altri due vertici di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio $root(6)(2)$.
Come posso sfruttare questo fatto per ricavarmi le altre due radici?
$z^3=1+i$
$|1+i|=sqrt(2)$
$(1+i)=sqrt(2)(1/sqrt(2)+i/sqrt(2))=sqrt(2)(cos(pi/4)+isin(pi/4))$
$(1+i)^3=root(6)(2)(cos(pi/12+(8kpi)/12)+isin(pi/12+(8kpi)/12))$ $kin{0,1,2}$
Ma arrivato a questo punto non riesco a procedere visto che non conosco ad esempio $cos(pi/12)$.
Tuttavia conosco il termine con $k=1$...quindi sono in grado di trovare una radice, e so che le altre due radici sono gli altri due vertici di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio $root(6)(2)$.
Come posso sfruttare questo fatto per ricavarmi le altre due radici?
Il $cos (pi/12)$ si ricava, anche se non è immediato, dalla formula di bisezione applicata al $cos (pi/6)$, idem per il seno
$cos (pi/12)=(sqrt6+sqrt2)/4$ e $sin (pi/12)=(sqrt6-sqrt2)/4$
$cos (pi/12)=(sqrt6+sqrt2)/4$ e $sin (pi/12)=(sqrt6-sqrt2)/4$
D'accordo ma io intendevo un'altra cosa...
ponendo $k=1$ ottengo l'angolo $3/4pi$ di cui conosco seno e coseno. In questo modo ho trovato una soluzione dell'equazione. Posso sfruttare il fatto che questa è una radice cubica (e che quindi è uno dei tre vertici del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio $root(6)(2)$) per ottenere le altre due radici da una rotazione?
ponendo $k=1$ ottengo l'angolo $3/4pi$ di cui conosco seno e coseno. In questo modo ho trovato una soluzione dell'equazione. Posso sfruttare il fatto che questa è una radice cubica (e che quindi è uno dei tre vertici del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio $root(6)(2)$) per ottenere le altre due radici da una rotazione?
"thedarkhero":
Risolvere l'equazione $z^2-5iz-7-i=0$.
Riscriviamo l'equazione
$z^2 - 5iz - 7 - i = 0$
$(z - (5i)/(2))^2 + 25/4 - 7 - i = 0$
$(z - (5i)/(2))^2 = - 25/4 + 7 + i $
$(z - (5i)/(2))^2 = 3/4 + i $
a questo punto basta trovre le due radici quadrate di $3/4 + i$
e il gioco è fatto.
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