Equazione complessa di secondo grado

[Mito125]

Ho questa equazione complessa di secondo grado:

$z^2 +(2+isqrt(2)+3i)z+(2i-sqrt(2))3=0$ e vorrei riportarla in forma più semplice da essere risolta, perchè la classica formula con il determinante si presta poco a questa equazione.

Io ho provato anche con il metodo $z^2 + S*z +P = 0$ ma non sono riuscito a venirne fuori. La soluzione mi riporta senza passaggi questa forma:

$(z+2+isqrt(2))(z+3i)=0$ che è corretta(l'ho controllata) ma non riesco a ricavarla dall'equazione iniziale. Come dovrei procedere?

[Gi81]

Forse così si nota meglio (ho messo in evidenza $i$ nel termine noto):
\(\displaystyle z^2+ \left(2+ i \sqrt{2}+3i\right)z +3i(2+i \sqrt{2}) =0\)

[Mito125]

A volte l'esperienza conta tantissimo... Grazie... Messa così si nota subito il prodotto di due termini... Ma se non l'avessi notato, come avresti fatto???

[Gi81]

Facciamo il $Delta$:

$Delta= [2+i(sqrt2+3)]^2 -12(2i-sqrt2)= 4-(sqrt2+3)^2 +4i(sqrt2+3)-24i+12sqrt2=$
$=4-2-9-6sqrt2+4isqrt2+12i-24i+12sqrt2= -7 +6sqrt2+4isqrt2-12i= -7 +6sqrt2+4i(sqrt2-3)$

$-7 +6sqrt2+4i(sqrt2-3) = (a+ib)^2=[a^2-b^2 +i(2ab)] <=> {(a^2-b^2 = -7+6sqrt2),(2ab=4(sqrt2-3)):}$

Dato che deve valere $ab= 2(sqrt2-3)$, proviamo a vedere $a= 2$ e $b=sqrt2-3$:
Effettivamente $a^2-b^2 = 4 -(2+9-6sqrt2)= 4-11+6sqrt2= -7+6sqrt2$

Quindi $Delta= [2+i(sqrt2-3)]^2$, da cui $z_{1,2}= (-(2+isqrt2+3i)+-[2+isqrt2-3i])/2$,
cioè $z_1= (-2-isqrt2-3i+2+isqrt2-3i)/2 = -3i$ e $z_2= (-2-isqrt2-3i-2-isqrt2+3i)/2= -2-isqrt2$.

Evidentemente, una faticaccia

[Mito125]

Grazie, quindi se non mi accorgo subito di qualcosa, i calcoli si presentano molto difficili...