Equazione complessa: coniugato e moduli
Ciao a tutti, non riesco a capire il procedimento risolutivo di questa semplice equazione:
\(\displaystyle z^2 = -8\bar{z} \)
Ad occhio riesco ad individuale la soluzione "banale" $z = 0$, poi andrei a considerare i moduli per trovare le altre soluzioni complesse.
Dunque: \(\displaystyle |z^2| = |-8\bar{z}| \) ma.... lo svolgimento del prof qui si presenta in questa forma, e non riesco a capire il perchè: \(\displaystyle |z^2| = |-8\bar{z}|^2 \Leftrightarrow |z|^2 = 8|z|\).
Mi sfugge completamente l'utilizzo del quadrato al secondo membro! Come mai viene adottata questa soluzione? Perchè non è corretto utilizzare semplicemente il modulo di \(\displaystyle -8\bar{z} \) ?
Grazie in anticipo per le risposte!
\(\displaystyle z^2 = -8\bar{z} \)
Ad occhio riesco ad individuale la soluzione "banale" $z = 0$, poi andrei a considerare i moduli per trovare le altre soluzioni complesse.
Dunque: \(\displaystyle |z^2| = |-8\bar{z}| \) ma.... lo svolgimento del prof qui si presenta in questa forma, e non riesco a capire il perchè: \(\displaystyle |z^2| = |-8\bar{z}|^2 \Leftrightarrow |z|^2 = 8|z|\).
Mi sfugge completamente l'utilizzo del quadrato al secondo membro! Come mai viene adottata questa soluzione? Perchè non è corretto utilizzare semplicemente il modulo di \(\displaystyle -8\bar{z} \) ?
Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
Ma sei sicuro che sia $\barx$ e non $\barz$?
Ooops, hai ragione, correggo subito! Mi era sfuggito! 
Uno svolgimento standard è quello di riscrivere $z$ come somma di parte reale più parte immaginaria $z=x+iy$.
A questo punto hai banalmente che:
A questo punto, affinché primo e secondo membro siano uguali, devi risolvere un sistema in cui imponi che parte reale a sinistra e a destra coincidano e analogamente fai per la parte immaginaria.
A questo punto hai banalmente che:
$|z|^2=-8\bar(z)->x^2+y^2=-8(x-iy)=-8x+i8y$.
A questo punto, affinché primo e secondo membro siano uguali, devi risolvere un sistema in cui imponi che parte reale a sinistra e a destra coincidano e analogamente fai per la parte immaginaria.
In questi casi è più semplice fare i conti usando la forma esponenziale.
Posto \(z=r e^{\imath\ \theta}\), l'equazione diventa:
\[
r^2 e^{\imath\ 2\theta} = -8\ r\ e^{-\imath\ \theta}
\]
che è equivalente a:
\[
r\ \left( r\ e^{\imath\ 3\theta} +8\right)=0
\]
da cui segue o \(r=0\) oppure \(r\ e^{\imath\ 3\theta} =-8\); dalla prima segue immediatamente \(z=0\), mentre dalla seconda segue:
\[
r\ e^{\imath\ 3\theta} =8\ e^{\imath\ \pi}
\]
ossia \(r=8\) e \(3\theta = \pi + 2k\pi\), i.e. \(\theta = \frac{\pi}{3}+\frac{2k}{3}\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), il che importa tre soluzioni distinte:
\[
z=8\ e^{\imath\ \frac{\pi}{3}},\ 8\ e^{\imath\ \pi},\ 8\ e^{\imath\ \frac{5\pi}{3}}\; .
\]
Posto \(z=r e^{\imath\ \theta}\), l'equazione diventa:
\[
r^2 e^{\imath\ 2\theta} = -8\ r\ e^{-\imath\ \theta}
\]
che è equivalente a:
\[
r\ \left( r\ e^{\imath\ 3\theta} +8\right)=0
\]
da cui segue o \(r=0\) oppure \(r\ e^{\imath\ 3\theta} =-8\); dalla prima segue immediatamente \(z=0\), mentre dalla seconda segue:
\[
r\ e^{\imath\ 3\theta} =8\ e^{\imath\ \pi}
\]
ossia \(r=8\) e \(3\theta = \pi + 2k\pi\), i.e. \(\theta = \frac{\pi}{3}+\frac{2k}{3}\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), il che importa tre soluzioni distinte:
\[
z=8\ e^{\imath\ \frac{\pi}{3}},\ 8\ e^{\imath\ \pi},\ 8\ e^{\imath\ \frac{5\pi}{3}}\; .
\]
Ok, il vostro svolgimento mi è chiaro, anche se sono solito utilizzare il procedimento suggerito da Gabriele poichè mi trovo "più a mio agio". Tuttavia in questo caso continuo a non capire il perchè di questo passaggio:
(cito dalla dispensa)
\(\displaystyle z^2 = -8\bar{z} \) da cui, passando ai moduli otteniamo:
\(\displaystyle |z^2| = |-8\bar{z}|^2 \Leftrightarrow |z|^2 = 8|z|\)
Il mio problema sta nel quadrato del membro di destra..... da dove è uscito? Non riesco proprio a capirlo!
(cito dalla dispensa)
\(\displaystyle z^2 = -8\bar{z} \) da cui, passando ai moduli otteniamo:
\(\displaystyle |z^2| = |-8\bar{z}|^2 \Leftrightarrow |z|^2 = 8|z|\)
Il mio problema sta nel quadrato del membro di destra..... da dove è uscito? Non riesco proprio a capirlo!
Sono abbastanza sicuro che sia un typo: tant'è che compare al secondo passaggio, e sparisce al terzo.
Sì, penso anche io che sia un errore di scrittura delle dispense.
Ma certo che è un errore di battitura!
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