Equazione complessa con termine al cubo
Salve, ho delle incertezze su come risolvere equazioni di questo tipo :
$ |z|^3 +3|z|-4=0$
Io l'ho impostata sostituendo |z| con t e scrivendo :
$ (t-1)(t^2+t+4)=0$
e trovando le soluzioni :
$ |z|=1 $
e le complesse legate al discriminante negativo del secondo termine
ma è effettivamente corretto il procedimento ? Inoltre, $|z|=1$ mi fa pensare subito alla circonferenza sul piano di Gauss, ma controllando su wolfram mi da un'altra rappresentazione.
Chiedo scusa per le castronerie ma sto facendo pratica ed il libro non ne accenna minimamente e su internet non riesco a trovare un esempio chiaro
$ |z|^3 +3|z|-4=0$
Io l'ho impostata sostituendo |z| con t e scrivendo :
$ (t-1)(t^2+t+4)=0$
e trovando le soluzioni :
$ |z|=1 $
e le complesse legate al discriminante negativo del secondo termine
ma è effettivamente corretto il procedimento ? Inoltre, $|z|=1$ mi fa pensare subito alla circonferenza sul piano di Gauss, ma controllando su wolfram mi da un'altra rappresentazione.
Chiedo scusa per le castronerie ma sto facendo pratica ed il libro non ne accenna minimamente e su internet non riesco a trovare un esempio chiaro
Risposte
Ciao benvenuto sul forum
Non so cosa ti abbia risposto wf, ma se cerco quei numeri complessi la cui distanza dall origine nel piano è 1, cerco quei punti che stanno sulla circonferenza di raggio 1 e centro nello origine.
Riguardo $t^2+t+4=0$, se $t$ deve essere l argomento di $z$ (distanza dall origine) può essere un numero complesso?
A me viene da pensare che debba essere un numero reale non negativo...
Non so cosa ti abbia risposto wf, ma se cerco quei numeri complessi la cui distanza dall origine nel piano è 1, cerco quei punti che stanno sulla circonferenza di raggio 1 e centro nello origine.
Riguardo $t^2+t+4=0$, se $t$ deve essere l argomento di $z$ (distanza dall origine) può essere un numero complesso?
A me viene da pensare che debba essere un numero reale non negativo...
"grant9":
e le complesse legate al discriminante negativo del secondo termine
Il mio dubbio si riferisce a questa affermazione
Ciao gio73,
Ehm, il modulo di $z$...
@grant9: la soluzione $|z| = 1 $ che hai ottenuto è corretta. Come hai già giustamente osservato l'altra equazione fornisce due soluzioni complesse coniugate, cosa che è impossibile perché come ti ha già scritto gio73 il modulo di un numero complesso è positivo o al più nullo...
"gio73":
t deve essere l argomento di z (distanza dall origine)
Ehm, il modulo di $z$...
@grant9: la soluzione $|z| = 1 $ che hai ottenuto è corretta. Come hai già giustamente osservato l'altra equazione fornisce due soluzioni complesse coniugate, cosa che è impossibile perché come ti ha già scritto gio73 il modulo di un numero complesso è positivo o al più nullo...
"gio73":
[quote="grant9"]
e le complesse legate al discriminante negativo del secondo termine
Il mio dubbio si riferisce a questa affermazione[/quote]
Grazie per il benvenuto|
WF mi da tutt'altro grafico rispetto alla circonferenza, ma i suoi risultati li prendo sempre con le pinze perchè spesso si commettono errori di sintassi o roba simile.
Per quanto riguarda il secondo termine, credo di essere stato superficiale ed il tuo commento mi ha fatto riflettere.
Dato che sto risolvendo per il MODULO di z, la soluzione altro non può essere che reale dunque è inutile andar a calcolarsi le soluzioni complesse di quel $t^2 +t +4=0$ (la quale non ammette soluzioni reali).
A questo punto mi verrebbe da concludere che l'unica ammissibile è $|z|=1$ con relativo disegno della circonferenza centrata nell'origine sul piano di Gauss.
Ne approfitterei per un ultimo quesito, ahimè non trovando esempi devo fare queste domande "banali".
Un'equazione del tipo $z + z^* -4 =0$ (z con il pallino sarebbe il coniugato)
la risolvo ponendo $z=x+iy$ che mi restituisce $x=2$
Dunque ho che $Re(z)=2$ ; sul piano di Gauss è corretto disegnarla come una retta verticale passante per $x=2$ ? Considerando che il coefficiente della parte immaginaria "può essere uno qualsiasi"
"grant9":
WF mi da tutt'altro grafico rispetto alla circonferenza
Perché? Posto $z = x + iy $, si ha:
$1 = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \iff x^2 + y^2 = 1 $
che è proprio l'equazione di una circonferenza di centro $O(0, 0) $ e raggio $1$
"grant9":
Dunque ho che $Re(z)=2 $; sul piano di Gauss è corretto disegnarla come una retta verticale passante per $x=2 $? Considerando che il coefficiente della parte immaginaria "può essere uno qualsiasi"
Sì.
I numeri reali possono essere visti come numeri complessi la cui parte immaginaria è 0, quindi il punto sul piano di Gauss con coordinate $(2; 0)$, corrisponde al numero reale 2, che scritto in forma algebrica come numero complesso sarebbe $z=2+i0$
Ora se tu prendi tutti i numeri complessi che hanno parte reale 2, potresti avere
$z_1=2-i$
Oppure
$z_2=2+4i$
$z_3=2-sqrt2 i$
$z_4=2+1/2 i$
...
Scegline uno e sostituisci nella tua equazione, verifica se funziona
Ora se tu prendi tutti i numeri complessi che hanno parte reale 2, potresti avere
$z_1=2-i$
Oppure
$z_2=2+4i$
$z_3=2-sqrt2 i$
$z_4=2+1/2 i$
...
Scegline uno e sostituisci nella tua equazione, verifica se funziona
"pilloeffe":
Ciao gio73,
[quote="gio73"]t deve essere l argomento di z (distanza dall origine)
Ehm, il modulo di $z$...
[/quote]
Damn it, another seizure of disnomia!
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