Equazione complessa con coniugato
Salve a tutti,
mi sto esercitando sulle equazioni complesse ma su una di queste ho un dubbio, l'equazione in questione è
$ z^2=bar(z) $
essendo $ z=a+ib $ e $ bar(z)=a-ib $ ho sostituito tali valori nell' equazione di partenza ed effettuando vari calcoli sono giunta alla risoluzione dei due sistemi
$ { ( a(a-1)=0 ),( b=0 ):} $
$ { ( b^2=3/2),(a=-1/2):} $
Da cui ottengo le soluzioni
$ z=0 $
$ z=1 $
$ z=-1/2-isqrt(3) /2 $
$ z=-1/2+isqrt(3) /2 $
Il mio dubbio è il seguente: per il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado $ n>=1 $ ammette, in $ C $ , $ n $ radici contate con la loro molteplicità.
Poichè la suddetta equazione è di secondo grado, perchè ci sono quattro soluzioni? Ho commesso qualche errore di calcolo?
Spero nel vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
mi sto esercitando sulle equazioni complesse ma su una di queste ho un dubbio, l'equazione in questione è
$ z^2=bar(z) $
essendo $ z=a+ib $ e $ bar(z)=a-ib $ ho sostituito tali valori nell' equazione di partenza ed effettuando vari calcoli sono giunta alla risoluzione dei due sistemi
$ { ( a(a-1)=0 ),( b=0 ):} $
$ { ( b^2=3/2),(a=-1/2):} $
Da cui ottengo le soluzioni
$ z=0 $
$ z=1 $
$ z=-1/2-isqrt(3) /2 $
$ z=-1/2+isqrt(3) /2 $
Il mio dubbio è il seguente: per il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado $ n>=1 $ ammette, in $ C $ , $ n $ radici contate con la loro molteplicità.
Poichè la suddetta equazione è di secondo grado, perchè ci sono quattro soluzioni? Ho commesso qualche errore di calcolo?
Spero nel vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Se fosse $c_2z^2+c_1z+c_0=0$ allora, come dice il teorema fondamentale dell'algebra, si avrebbero due soluzioni. Ma qui hai $z^2-\overline{z}=0$. Questo non è un polinomio in $z$, ma un polinomio in $z$ e $\overline{z}$, dunque non si applica il teorema fondamentale dell'algebra. 
"fifty_50":No perchè la coniuugazione non è un'operazione algebrica. Detto altrimenti, un polinomio in $z$ dev'essere combinazione di potenze della sola $z$, non deve comparire il suo coniugato $bar(z)$, oppure il suo modulo $|z|$ o quant'altro.
... la suddetta equazione è di secondo grado...
Pensa ad esempio alla banalissima equazione: $z*bar(z)=1$. Ammette infinite soluzioni.
P.S.: perchè l'equazione che hai scritto non provi a risolverla passando alla forma esponenziale? La soluzione è molto più snella.
EDIT: scusa billyballo2123 per la sovrapposizione...
"Palliit":
EDIT: scusa billyballo2123 per la sovrapposizione...
Ecco qual era il problema!
Non sapevo che il teorema fondamentale dell'algerbra si potesse applicare soltanto in presenza di equazioni nella sola variabile z, adesso mi è tutto più chiaro!
Grazie mille ad entrambi per le risposte, siete stati molto gentili ed esaustivi ☺️
Non sapevo che il teorema fondamentale dell'algerbra si potesse applicare soltanto in presenza di equazioni nella sola variabile z, adesso mi è tutto più chiaro!
Grazie mille ad entrambi per le risposte, siete stati molto gentili ed esaustivi ☺️
ciao ragazzi, scusate l intromissione ma ho anche io un dubbio: ho capito che non posso applicare il teorema fondamentale dell algebra per determinare il numero di soluzioni complesse, però essendo del tipo z^n=omega, con z e omega due numeri complessi, dovrei avere un numero di radici pari a n! cosa c è di sbagliato nel mio ragionamento?
"elpuntazza":Niente.
cosa c è di sbagliato nel mio ragionamento?
L'equazione: $" "z^n=omega" "$ ammette $" "n" "$ soluzioni complesse. Risolvila e te ne convincerai.
"elpuntazza":
ciao ragazzi, scusate l intromissione ma ho anche io un dubbio: ho capito che non posso applicare il teorema fondamentale dell algebra per determinare il numero di soluzioni complesse, però essendo del tipo z^n=omega, con z e omega due numeri complessi, dovrei avere un numero di radici pari a n! cosa c è di sbagliato nel mio ragionamento?
L'equazione $z^2=\overline{z}$ non è un'equazione del tipo $z^n=\omega$! Non puoi porre $\overline{z}=\omega$.
Mi sembrava di capire che @elpuntazza intendesse per $omega$ un numero complesso assegnato.
Esatto... per questo $z^n=\omega$ non lo si può applicare a questa equazione $z^2=\overline{z}$ 
non era questo il dubbio di elpuntazza?
non era questo il dubbio di elpuntazza?
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