Equazione complessa

[poncelet]

Devo risolvere l'equazione complessa:

[tex]$cosw+isinw=-1$[/tex]

Applico la formula di Eulero:

[tex]$e^iw=-1 \Rightarrow iw=log(-1) \Rightarrow w=\frac{log(-1)}{i}$[/tex]

A questo punto seguendo lo svolgimento indicato nell'esercizio, l'uguaglianza prosegue così:

[tex]$-i(log\lvert-1\rvert+i(arg(-1)+2k\pi))=(2k+1)\pi$[/tex]

Non capisco da dove esce il [tex]$-i$[/tex] iniziale (prima era a denominatore). Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.

[j18eos]

Senza tirarla per le lunghe: [tex]$-i\cdot i=1\Rightarrow i^{-1}=\frac{1}{i}=-i$[/tex]!

[gugo82]

@max: Per favore: \sin, \cos, \log per ottenere [tex]\sin,\ \cos,\ \log[/tex] (contro [tex]sin,\ cos,\ log[/tex]).
Per l'argomento, puoi usare \text{arg}, che produce [tex]$\text{arg}$[/tex] (contro [tex]arg[/tex]); e per l'esponenziale scrivi e^{iw} per avere [tex]$e^{iw}$[/tex] (contro e^iw che produce [tex]$e^iw$[/tex]).

[ciampax]

Una cosa non ho capito: ma [tex]$w\in\mathbb{R}$[/tex] oppure [tex]$w\in\mathbb{C}$[/tex]? Per ché se è reale mi torna, ma se è complesso mi sa che bisogna ragionarci un po' su.

[poncelet]

@ciampax
Il testo dell'esercizio originario è:

[tex]$\cos(z^{3})+i\sin(z^{3})=-1$[/tex]

Ho quindi sostituito:

[tex]$w=z^{3}$[/tex]

ed ottenuto l'equazione nella forma che ho riportato, quindi [tex]$w \in \mathbb{C}$[/tex].

Perché non ti torna?

@gugo grazie per l'indicazione (sono alle prime armi anche in TeX).

[ciampax]

Non è che non mi torni. E' che se fosse stato reale, ti sarebbe bastato eguagliare i vari termini (ottenendo per altro lo stesso risultato).