Equazione complessa
Al variare di α, quanti sono i numeri complessi z con argomento α che verificano $ |z-6| = 1 $ ?
Io l'ho risolto in forma algebrica e mi è uscito $ x^(2)+y^(2)+12x+35=0 $
Questa è una circonferenza con centro $ C=(6,=0) $ e raggio $ r=1 $. Ma poi?
Io l'ho risolto in forma algebrica e mi è uscito $ x^(2)+y^(2)+12x+35=0 $
Questa è una circonferenza con centro $ C=(6,=0) $ e raggio $ r=1 $. Ma poi?
Risposte
Prima di buttarti a far conti, prova ad interpretare graficamente il problema.
Com'è fatto l'insieme [tex]$\{ z\in \mathbb{C}:\ |z-6|=1\}$[/tex]? E l'insieme [tex]$\{ z\in \mathbb{C}:\ \text{arg} (z)=\alpha\}$[/tex]?
Pensato a questo, il problema appare molto più chiaro, secondo me.
Com'è fatto l'insieme [tex]$\{ z\in \mathbb{C}:\ |z-6|=1\}$[/tex]? E l'insieme [tex]$\{ z\in \mathbb{C}:\ \text{arg} (z)=\alpha\}$[/tex]?
Pensato a questo, il problema appare molto più chiaro, secondo me.
Non ti seguo....Allora il primo insieme è dato dalla circonferenza con quella equazione...e il secondo non so...
"melli13":
Non ti seguo....Allora il primo insieme è dato dalla circonferenza con quella equazione...
E comincia a disegnarla.
Ti ricordo che di quella circonferenza hai già il centro ed il raggio...
"melli13":
e il secondo non so...
Pensaci.
Cos'è l'argomento di un numero complesso?
E come sono messi nel piano tutti i numeri complessi che hanno lo stesso fissato argomento?
Ok la circonferenza l'ho disegnata....
L'argomento di un numero complesso è l'ampiezza dell'angolo compreso tra l'asse x e la retta passante per l'origine e il punto in cui si trova il numero complesso nel piano di Gauss....E quindi tutti i numeri complessi che hanno lo stesso argomento sono tutti su una retta.....e quindi potrei fare intersecare questa retta con la circonferenza e trovare le soluzioni....ma quale sarà l'equazione di questa retta? y=tg(α)?
E' giusto il ragionamento...?!?!Grazie...mi hai fatto ragionare questa sera...=))!!!
L'argomento di un numero complesso è l'ampiezza dell'angolo compreso tra l'asse x e la retta passante per l'origine e il punto in cui si trova il numero complesso nel piano di Gauss....E quindi tutti i numeri complessi che hanno lo stesso argomento sono tutti su una retta.....e quindi potrei fare intersecare questa retta con la circonferenza e trovare le soluzioni....ma quale sarà l'equazione di questa retta? y=tg(α)?
E' giusto il ragionamento...?!?!Grazie...mi hai fatto ragionare questa sera...=))!!!
L'insieme individuato dall'equazione [tex]$\text{arg} (z)=\alpha$[/tex] non è una retta, ma una semiretta; precisamente la semiretta che esce da [tex]$0$[/tex] e forma un angolo [tex]$\alpha$[/tex] con il semiasse reale positivo.
Ad esempio, gli insiemi d'equazione [tex]\text{arg} (z)=\frac{\pi}{3}[/tex] e [tex]\text{arg} (z)= -\frac{5\pi}{6}[/tex] sono le semirette disegnate rispettivamente in blu e rosso nella figura che segue:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
stroke="blue"; plot("1.732*x",0,3);
stroke="red"; plot("0.577*x",-3,0);[/asvg]
Quindi la semiretta [tex]$\text{arg} (z)=\alpha$[/tex] ha equazioni cartesiane:
[tex]$\begin{cases} \text{$y=\tan \alpha\ x$ ed $x\geq 0$} &\text{, se $-\frac{\pi}{2} +2k\pi<\alpha <\frac{\pi}{2} +2k\pi$} \\ \text{$x=0$ ed $y\geq 0$} &\text{, se $\alpha =\frac{\pi}{2} +2k\pi$} \\ \text{$y=\tan \alpha x$ ed $x\leq 0$} &\text{, se $\frac{\pi}{2} +2k\pi <\alpha <\pi +2k\pi$ oppure $-\pi +2k\pi <\alpha <-\frac{\pi}{2} +2k\pi$} \\ \text{$x=0$ ed $y\leq 0$} &\text{, se $\alpha =-\frac{\pi}{2} +2k\pi$}\end{cases}$[/tex]
(in cui [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]); ovviamente, se restringi l'intervallo di variazione di [tex]$\alpha$[/tex] a [tex]$]-\pi,\pi]$[/tex], puoi considerare la periodicità a parte (insomma, è come fissare [tex]$k=0$[/tex] nelle espressioni precedenti e poi recuperarti il fattore di periodicità [tex]$+2k\pi$[/tex] alla fine dei conti).
Tornando all'esercizio, l'insieme individuato dall'equazione [tex]$|z-6|=1$[/tex] è la circonferenza di centro [tex]$6$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex]: disegnamo:
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; circle([6,0],1);[/asvg]
Se disegni alcune semirette uscenti da [tex]$0$[/tex] vedi da te che: esistono due valori opposti [tex]$A,-A\in ]-\pi,\pi[$[/tex] di [tex]$\alpha$[/tex] tali che la semiretta è tangente alla circonferenza; per valori di [tex]$\alpha$[/tex] in [tex]$]-A,A[$[/tex], le semirette intersecano la circonferenza in due punti; per valori di [tex]$\alpha$[/tex] in [tex]$]-\pi,-A[\cup ]A,\pi[$[/tex] le semirette non intersecano la circonferenza.
Per trovare il valore [tex]$A$[/tex] devi fare un po' di conti, ma non è nulla di impossibile.
Ad esempio, gli insiemi d'equazione [tex]\text{arg} (z)=\frac{\pi}{3}[/tex] e [tex]\text{arg} (z)= -\frac{5\pi}{6}[/tex] sono le semirette disegnate rispettivamente in blu e rosso nella figura che segue:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
stroke="blue"; plot("1.732*x",0,3);
stroke="red"; plot("0.577*x",-3,0);[/asvg]
Quindi la semiretta [tex]$\text{arg} (z)=\alpha$[/tex] ha equazioni cartesiane:
[tex]$\begin{cases} \text{$y=\tan \alpha\ x$ ed $x\geq 0$} &\text{, se $-\frac{\pi}{2} +2k\pi<\alpha <\frac{\pi}{2} +2k\pi$} \\ \text{$x=0$ ed $y\geq 0$} &\text{, se $\alpha =\frac{\pi}{2} +2k\pi$} \\ \text{$y=\tan \alpha x$ ed $x\leq 0$} &\text{, se $\frac{\pi}{2} +2k\pi <\alpha <\pi +2k\pi$ oppure $-\pi +2k\pi <\alpha <-\frac{\pi}{2} +2k\pi$} \\ \text{$x=0$ ed $y\leq 0$} &\text{, se $\alpha =-\frac{\pi}{2} +2k\pi$}\end{cases}$[/tex]
(in cui [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]); ovviamente, se restringi l'intervallo di variazione di [tex]$\alpha$[/tex] a [tex]$]-\pi,\pi]$[/tex], puoi considerare la periodicità a parte (insomma, è come fissare [tex]$k=0$[/tex] nelle espressioni precedenti e poi recuperarti il fattore di periodicità [tex]$+2k\pi$[/tex] alla fine dei conti).
Tornando all'esercizio, l'insieme individuato dall'equazione [tex]$|z-6|=1$[/tex] è la circonferenza di centro [tex]$6$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex]: disegnamo:
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; circle([6,0],1);[/asvg]
Se disegni alcune semirette uscenti da [tex]$0$[/tex] vedi da te che: esistono due valori opposti [tex]$A,-A\in ]-\pi,\pi[$[/tex] di [tex]$\alpha$[/tex] tali che la semiretta è tangente alla circonferenza; per valori di [tex]$\alpha$[/tex] in [tex]$]-A,A[$[/tex], le semirette intersecano la circonferenza in due punti; per valori di [tex]$\alpha$[/tex] in [tex]$]-\pi,-A[\cup ]A,\pi[$[/tex] le semirette non intersecano la circonferenza.
Per trovare il valore [tex]$A$[/tex] devi fare un po' di conti, ma non è nulla di impossibile.
Posso suggerire una soluzione più "analitica"? Se [tex]$\alpha$[/tex] è fissato, allora [tex]$z=\rho(\cos\alpha+i\sin\alpha)$[/tex] è il numero complesso da cercare al variare del modulo [tex]$\rho$[/tex]. ne segue che [tex]$|\rho\cos\alpha-6+\rho\sin\alpha|=1$[/tex] da cui
[tex]$\rho^2\cos^2\alpha-12\rho\cos\alpha+36+\rho^2\sin^2\alpha=1$[/tex]
per cui basta risolvere l'equazione in $\rho$
[tex]$\rho^2-12\rho\cos\alpha+35=0$[/tex]
per trovare i numeri compessi che soddisfano tale proprietà. Visto che [tex]$\Delta=144\cos^2\alpha-140=4(36\cos^2\alpha-35)$[/tex] si hanno
2 soluzioni se [tex]$\cos\alpha<-\frac{\sqrt{35}}{36},\ \cos\alpha>\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex];
1 soluzione se [tex]$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex];
nessuna soluzione se [tex]$-\frac{\sqrt{35}}{36}<\cos\alpha<\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex].
A questo punto detto [tex]$\gamma\in(0,\pi/2)$[/tex] tale che [tex]$\cos\gamma=\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex] segue che si hanno
2 soluzioni se [tex]$0\le\alpha<\gamma,\ \pi-\gamma<\alpha<\pi+\gamma,\ 2\pi-\gamma<\alpha\le2\pi$[/tex]
1 soluzione se [tex]$\alpha=\gamma,\ \pi-\gamma,\ \pi+\gamma,\ 2\pi-\gamma$[/tex]
nessuna soluzione se [tex]$\gamma<\alpha<\pi-\gamma,\ \pi+\gamma<\alpha<2\pi-\gamma$[/tex]
a cui basta sommare le periodicità ([tex]$2k\pi,\ k\in \mathbb{Z}$[/tex]).
[tex]$\rho^2\cos^2\alpha-12\rho\cos\alpha+36+\rho^2\sin^2\alpha=1$[/tex]
per cui basta risolvere l'equazione in $\rho$
[tex]$\rho^2-12\rho\cos\alpha+35=0$[/tex]
per trovare i numeri compessi che soddisfano tale proprietà. Visto che [tex]$\Delta=144\cos^2\alpha-140=4(36\cos^2\alpha-35)$[/tex] si hanno
2 soluzioni se [tex]$\cos\alpha<-\frac{\sqrt{35}}{36},\ \cos\alpha>\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex];
1 soluzione se [tex]$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex];
nessuna soluzione se [tex]$-\frac{\sqrt{35}}{36}<\cos\alpha<\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex].
A questo punto detto [tex]$\gamma\in(0,\pi/2)$[/tex] tale che [tex]$\cos\gamma=\frac{\sqrt{35}}{36}$[/tex] segue che si hanno
2 soluzioni se [tex]$0\le\alpha<\gamma,\ \pi-\gamma<\alpha<\pi+\gamma,\ 2\pi-\gamma<\alpha\le2\pi$[/tex]
1 soluzione se [tex]$\alpha=\gamma,\ \pi-\gamma,\ \pi+\gamma,\ 2\pi-\gamma$[/tex]
nessuna soluzione se [tex]$\gamma<\alpha<\pi-\gamma,\ \pi+\gamma<\alpha<2\pi-\gamma$[/tex]
a cui basta sommare le periodicità ([tex]$2k\pi,\ k\in \mathbb{Z}$[/tex]).
@ciampax: Sicuro? Mi sa che hai invertito gli intervalli esterni ed interni... Infatti è per [tex]$\alpha \approx 0$[/tex] che mi aspetto due soluzioni.
Ah già, è che mi sono dimenticato una cosa fondamentale: la soluzione [tex]$\rho$[/tex] deve essere positiva!!!!
Ok, allora, riallacciandoci al post precedente, abbiamo
[tex]$\rho_{1,2}=\frac{12\cos\alpha\pm2\sqrt{36\cos^2\alpha-35}}{2}=6\cos\alpha\pm\sqrt{36\cos^2\alpha-35}$[/tex].
Ora si hanno due soluzioni accettabili quando entrambe sono positive: allora deve essere, nell'ipotesi di discriminante positivo
[tex]$6\cos\alpha>\pm\sqrt{36\cos^2-35}$[/tex]
Ora abbiamo che [tex]$6\cos\alpha>\sqrt{36\cos^2\alpha-35}$[/tex] equivale a [tex]$\cos\alpha\ge 0$[/tex] per cui [tex]$0\le\alpha\le\pi/2,\ 3\pi/2\le\alpha\le 2\pi[/tex]
mentre [tex]$6\cos\alpha>-\sqrt{36\cos^2\alpha-35}$[/tex] equivale di nuovo a [tex]$\cos\alpha>\ge 0$[/tex]
In definitiva, per avere due soluzioni bisogna mettere a sistema i casi del post precedente con quest'ultima soluzione, ottenendo che [tex]$0\le\alpha<\gamma,\ 2\pi-\gamma<\alpha\le2\pi$[/tex] sono gli unici valori per cui si hanno due soluzioni.
Sorry, mentre scrivevo pensavo alle soluzioni e poi me le sono dimenticate per strada!
Ok, allora, riallacciandoci al post precedente, abbiamo
[tex]$\rho_{1,2}=\frac{12\cos\alpha\pm2\sqrt{36\cos^2\alpha-35}}{2}=6\cos\alpha\pm\sqrt{36\cos^2\alpha-35}$[/tex].
Ora si hanno due soluzioni accettabili quando entrambe sono positive: allora deve essere, nell'ipotesi di discriminante positivo
[tex]$6\cos\alpha>\pm\sqrt{36\cos^2-35}$[/tex]
Ora abbiamo che [tex]$6\cos\alpha>\sqrt{36\cos^2\alpha-35}$[/tex] equivale a [tex]$\cos\alpha\ge 0$[/tex] per cui [tex]$0\le\alpha\le\pi/2,\ 3\pi/2\le\alpha\le 2\pi[/tex]
mentre [tex]$6\cos\alpha>-\sqrt{36\cos^2\alpha-35}$[/tex] equivale di nuovo a [tex]$\cos\alpha>\ge 0$[/tex]
In definitiva, per avere due soluzioni bisogna mettere a sistema i casi del post precedente con quest'ultima soluzione, ottenendo che [tex]$0\le\alpha<\gamma,\ 2\pi-\gamma<\alpha\le2\pi$[/tex] sono gli unici valori per cui si hanno due soluzioni.
Sorry, mentre scrivevo pensavo alle soluzioni e poi me le sono dimenticate per strada!
Grazie mille...ho capito
P.s forte il programma per disegnare...
!!
P.s forte il programma per disegnare...
!!
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