Equazione complessa
Sapete aitarmi a risolvere questa equazione senza l'ausilio dell'argomento e con de moivre in trigognometrica
$(Z-1)^3 - i = 0
$(Z-1)^3 - i = 0
Risposte
Senza l'ausilio dell'argomento e senza de moivre,intendi?
Allora sviluppa il cubo del binomino..
Allora sviluppa il cubo del binomino..
[quote=Crook]Senza l'ausilio dell'argomento e senza de moivre,intendi?
Allora sviluppa il cubo del binomino..[/quo
utilizzando de moivre con la trigognometrica
Allora sviluppa il cubo del binomino..[/quo
utilizzando de moivre con la trigognometrica
Innanzitutto porta -i a destra ottieni così: $(z-1)^3=i$
poni ora $z-1=w$ e ottieni$w^3=i$ . Applicando ora DeMoivre ti trovi le radici cubiche di i .Otterrai così facendo 3 numeri complessi w0, w1 e w2 . Ricordando la posizione iniziale i numeri complessi che soddisfano l'equazione iniziale sono quindi dati da:
z0=w0 +1
z1=w1+1
z2=w2+1
poni ora $z-1=w$ e ottieni$w^3=i$ . Applicando ora DeMoivre ti trovi le radici cubiche di i .Otterrai così facendo 3 numeri complessi w0, w1 e w2 . Ricordando la posizione iniziale i numeri complessi che soddisfano l'equazione iniziale sono quindi dati da:
z0=w0 +1
z1=w1+1
z2=w2+1
"lupomatematico":mi puoi calcolare z0 come esempio?
Innanzitutto porta -i a destra ottieni così: $(z-1)^3=i$
poni ora $z-1=w$ e ottieni$w^3=i$ . Applicando ora DeMoivre ti trovi le radici cubiche di i .Otterrai così facendo 3 numeri complessi w0, w1 e w2 . Ricordando la posizione iniziale i numeri complessi che soddisfano l'equazione iniziale sono quindi dati da:
z0=w0 +1
z1=w1+1
z2=w2+1
???????????
Seguendo le indicazioni precedenti:
porta il numero complesso $i$ nella sua forma trigonometrica,cioè: $cos pi/2 + i sin pi/2 $
per calcolarti le radici terze di $i$ usa poi la formula generale per le radici n-esime di un numero complesso,quindi:
$wk=cos (((pi/2)+2kpi)/3) + i sin (((pi/2)+2kpi)/3)$ con k=0,1,2
una volta trovate le tre wk le soluzioni dell'equazione complessa saranno zk=wk+1
ad esempio siccome $w0=cos(pi/6)+i sin(pi/6)$
avremo che z0=w0+1=$cos(pi/6)+i sin(pi/6)+1$=$(Rad(3)/2 +1) +i/2$
Spero ora ti sia tutto chiaro
porta il numero complesso $i$ nella sua forma trigonometrica,cioè: $cos pi/2 + i sin pi/2 $
per calcolarti le radici terze di $i$ usa poi la formula generale per le radici n-esime di un numero complesso,quindi:
$wk=cos (((pi/2)+2kpi)/3) + i sin (((pi/2)+2kpi)/3)$ con k=0,1,2
una volta trovate le tre wk le soluzioni dell'equazione complessa saranno zk=wk+1
ad esempio siccome $w0=cos(pi/6)+i sin(pi/6)$
avremo che z0=w0+1=$cos(pi/6)+i sin(pi/6)+1$=$(Rad(3)/2 +1) +i/2$
Spero ora ti sia tutto chiaro
Scusa, ma non essendo molto pratico con la scrittura,ho commesso due errori:
1) nella forma trigonometrica di $i$ l'argomento del seno e coseno è da intendersi tutto pigreco mezzi
2)nella parte finale dell'uguaglianza z0=.........., la radice, Rad, è "applicata" solo al 3 e non al 2 cioè: $(3^0.5)/2$
1) nella forma trigonometrica di $i$ l'argomento del seno e coseno è da intendersi tutto pigreco mezzi
2)nella parte finale dell'uguaglianza z0=.........., la radice, Rad, è "applicata" solo al 3 e non al 2 cioè: $(3^0.5)/2$
"lupomatematico":
Scusa, ma non essendo molto pratico con la scrittura,ho commesso due errori:
1) nella forma trigonometrica di $i$ l'argomento del seno e coseno è da intendersi tutto pigreco mezzi
2)nella parte finale dell'uguaglianza z0=.........., la radice, Rad, è "applicata" solo al 3 e non al 2 cioè: $(3^0.5)/2$
ok grazie per l'aiuto
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