Equazione Complessa...
Ok, si lo ammetto, non ho studiato tantissimo, e quindi ora mi ripresento qui in cerca di aiuto...
Ho da risolvere questo tipo di esercizi:
Quante sono le soluzioni dell'equazione $z(bar z + 2|z|) = 2(z + 1)|z| − 4$
La risposta corretta è $0$
Allora io ho perato in questo modo, ditemi se almeno come ragionamento ho capito.
sapendo che $z * bar z = |z|^2$
$z(bar z + 2|z|) = 2(z + 1)|z| − 4$
$|z|^2 + 2z|z| = (2z + 2)|z| - 4$
$|z|^2 + 2z|z| = 2z|z| + 2|z| -4$
$|z|^2 - 2|z| + 4 = 0$
ora opero in questa maniera $|z| = x$
$x^2 - 2x + 4 = 0$
Ora da qui non ho ben capito come concludere l'esercizio. Ora provo qualcosa.
Ho da risolvere questo tipo di esercizi:
Quante sono le soluzioni dell'equazione $z(bar z + 2|z|) = 2(z + 1)|z| − 4$
La risposta corretta è $0$
Allora io ho perato in questo modo, ditemi se almeno come ragionamento ho capito.
sapendo che $z * bar z = |z|^2$
$z(bar z + 2|z|) = 2(z + 1)|z| − 4$
$|z|^2 + 2z|z| = (2z + 2)|z| - 4$
$|z|^2 + 2z|z| = 2z|z| + 2|z| -4$
$|z|^2 - 2|z| + 4 = 0$
ora opero in questa maniera $|z| = x$
$x^2 - 2x + 4 = 0$
Ora da qui non ho ben capito come concludere l'esercizio. Ora provo qualcosa.
Risposte
$x^2-2x+4=0$ non ammette soluzioni reali. Infatti le soluzioni sono $x_1=1+i*sqrt(3)$ e $x_2=1-i*sqrt(3)$.
Hmmm, ok, ho penso di aver capito come andava interpretato l'esercizio... una cosa solamente, alla fine a me il risultato viene $(2 +- i *sqrt(12))/2$
Cerco di far capire tutti i mie calcoli.
$x^2 - 2x + 4 = 0$
$\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 16 = -12$
Che posso riscrivere in forma esponenziale
$\Delta = 12e^(i pi)$
A questo punto mi calcolo le radici quadrate
$\omega = sqrt(12)e^(i (pi/2))$
e
$\omega = sqrt(12)e^(i (3pi/2))$
Da qui riconverto in forma cartesiana:
$i sqrt(12)$
e vengono i risultati di cui sopra:
$(2 +- i *sqrt(12))/2$
Cerco di far capire tutti i mie calcoli.
$x^2 - 2x + 4 = 0$
$\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 16 = -12$
Che posso riscrivere in forma esponenziale
$\Delta = 12e^(i pi)$
A questo punto mi calcolo le radici quadrate
$\omega = sqrt(12)e^(i (pi/2))$
e
$\omega = sqrt(12)e^(i (3pi/2))$
Da qui riconverto in forma cartesiana:
$i sqrt(12)$
e vengono i risultati di cui sopra:
$(2 +- i *sqrt(12))/2$
Si! Infatti $(2+-i*sqrt(12))/2$, si può scrivere come $1+-i*sqrt(3)$ essendo $sqrt(12)=2*sqrt(3)$
Ok ho fatto una delle mie solite figure di hmmm figuracce...Sentite scusate se continuo ad approfittarne, ma c'è un esercizio molto simile, l'unica cosa che cambia è che ha un numero di soluzioni infinite.
$z (bar z + 6|z|) = 6(z+1)|z| - 4$
Evito di fare tutti i passaggi perché sono simili all'esercizio precedente ed arrivo a:
$|z|^2 - 6|z| + 4 = 0$
Faccio la stessa sostituzione di prima ed ho:
$x^2 - 6x + 4 = 0$
Ora, facendo gli stessi procedimenti di prima mi ritrovo con:
$(6 +- i sqrt(20))/ 2$
hmmm, secondo quanto quello che abbiamo detto prima significherebbe che non ci sono soluzioni reali... oppure mi sono perso qualche passaggio fondamentale?
Effettivamente mi hanno fatto notare che venendo un discriminante positivo, è inutile che converto tutto dalla forma cartesiana a quella esponenziale... quindi alla fine uno si ritrova con una cosa del genere:
$(6 +- sqrt(20))/2 $
Che sono due soluzioni reali e non infinite... hmmm provo a vedere ancora un po' le dispense.
$(6 +- sqrt(20))/2 $
Che sono due soluzioni reali e non infinite... hmmm provo a vedere ancora un po' le dispense.
Mi sembra ci sia un errore nei tuoi conti : arrivo a questa equazione :
$ |z| =6|z| -4 $ da cui $ |z | = 4/5 $ che significa infinite soluzioni di modulo come indicato e argomento qualsiasi :
$z = (4/5)e^(i theta ) $ .
Camillo
$ |z| =6|z| -4 $ da cui $ |z | = 4/5 $ che significa infinite soluzioni di modulo come indicato e argomento qualsiasi :
$z = (4/5)e^(i theta ) $ .
Camillo
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