Equazione complessa.

[miik91]

Salve a tutti. Qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere la seguente equazione:

[math] (z-i)^3=(z-i)* [/math]

Il simbolo * sta per coniugato. Qualcuno potrebbe dirmi come risolverla?? Grazie a tutti in anticipo.

[ciampax]

Io scriverei

[math]z=x+iy[/math]

e farei un po' di conti:

[math](x+iy-i)^3=(x-iy+i)[/math]

da cui

[math][x+i(y-1)]^3=x-i(y-1)[/math]

e quindi

[math]x^3+3ix^2(y-1)-3x(y-1)^2-i(y-1)^3=x-i(y-1)[/math]

e uguagliando parte reale e parte immaginaria

[math]x^3-3x(y-1)=x,\qquad 3x^2(y-1)-(y-1)^3=-(y-1)[/math]

da cui

[math]x(x^2-3y+2)=0,\qquad (y-1)[3x^2+1-(y-1)^2]=0[/math]

Prova a risolvere il sistema delle due equazioni precedenti adesso.