Equazione complessa

[Amari999]

Come si svolge quest'equazione?:
\(\displaystyle (z^3 -1)((\bar z)^2+3i)=0 \)
Risolvendo \(\displaystyle (z^3 -1)=0 \) immediatamente ho:
\(\displaystyle z=1 \)
Ma come arrivo alle altre soluzioni che sono
\(\displaystyle z=(-1)^{2/3} \) e \(\displaystyle z=-\sqrt[3]-1 \) ?

E da \(\displaystyle ((\bar z)^2+3i)=0 \)
Come arrivo a \(\displaystyle z=(-i-1)\sqrt(3/2) \) e \(\displaystyle z=(1+i)\sqrt(3/2)\) ?

So che si dovrebbero usare le formule trigonometriche ma non so come applicarle

[pilloeffe]

Ciao Amari999,

"Amari999":Risolvendo $(z^3−1) = 0$ immediatamente ho: z=1

Beh, non solo:

$(z^3−1) = 0 \implies z^3 - 1^3 = 0 \implies (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0$

Annullando il primo fattore si trova $z_1 = 1 $, annullando il secondo si trova

$z_{2,3} = frac{- 1 \pm i sqrt{3}}{2} $

Per quanto riguarda il secondo fattore si ha:

$ (\bar z)^2+3i = 0 \implies (\bar z)^2 = - 3i \implies $
$ \implies \bar z = \pm sqrt{- 3i} = \pm sqrt{frac{3 - 6i + 3i^2}{2}} = \pm sqrt{frac{3(1 -i)^2}{2}} = \pm sqrt{frac{3}{2}}(1 - i) $

da cui, ricordando che se $z = x + iy \implies \bar z = x - iy $, si ottengono facilmente le altre due soluzioni:

$z_4 = sqrt{frac{3}{2}}(1 + i) $
$z_5 = - sqrt{frac{3}{2}}(1 + i) $