Equazione complessa

[Luigirango]

Salve,
ho un dubbio nella risoluzione di questa equazione ((z-i)/(z+1))^3=-i

-i=-1*i=i^2 *i=i^3
((z-i)/(z+1))=radice cubica (i^3) (Questo procedimento è corretto? Perchè?)
...
z=-1+i

Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno

[@melia]

Hai trovato una sola delle 3 soluzioni, non c'è solo $i$ che al cubo dia $-i$, ma anche $sqrt3/2-1/2i$ e $-sqrt3/2-1/2i$

[Luigirango]

Grazie, tutto chiaro...

[pilloeffe]

Ciao Luigirango,

Benvenuto sul forum!

Ferma restando la correttezza della risposta di melia, l'equazione complessa proposta

$(frac{z - i}{z + 1})^3 = - i $

è risolvibile abbastanza facilmente osservando ciò che hai già scritto, e cioè che $- i = i^3 $, e ponendo $w := frac{z - i}{z + 1} $, sicché si ottiene semplicemente

$w^3 - i^3 = 0 \implies (w - i)(w^2 + iw + i^2) = 0 $

Annullando il primo fattore si trova subito $w_1 = i \implies z - i = iz + i \implies z(1 - i) = 2i \implies z_1 = - 1 + i $ che coincide con la soluzione che avevi già trovato anche tu. Per determinare le altre due non resta che risolvere la semplice equazione di secondo grado seguente:

$w^2 + iw + i^2 = 0 $

$w_{2,3} = frac{- i \pm sqrt{i^2 - 4i^2}}{2} = frac{- i \pm sqrt{- 3i^2}}{2} = frac{\pm sqrt{3} - i}{2} $

dopo qualche calcolo...

$ w_2 = frac{sqrt{3} - i}{2} \implies frac{z - i}{z + 1} = frac{sqrt{3} - i}{2} \implies 2z - 2i = (sqrt{3} - i)(z + 1) \implies 2z - 2i = sqrt{3}z + sqrt{3} - iz - i $
$ \implies 2z - sqrt{3} z + iz = sqrt{3} + i \implies [(2 - sqrt{3}) + i]z = sqrt{3} + i \implies $
$ \implies z_2 = frac{sqrt{3} + i}{(2 - sqrt{3}) + i} = frac{(sqrt{3} + i)[(2 - sqrt{3}) - i]}{[(2 - sqrt{3}) + i][(2 - sqrt{3}) - i]} = frac{(sqrt{3} + i)[(2 - sqrt{3}) - i]}{4(2 - sqrt{3})} = $
$ = frac{2 sqrt{3} - 3 - i sqrt{3} + 2i - i sqrt{3} + 1}{4(2 - sqrt{3})} = frac{2 sqrt{3} - 2 - 2i sqrt{3} + 2i}{4(2 - sqrt{3})} = frac{ sqrt{3} - 1 - i sqrt{3} + i}{2(2 - sqrt{3})} = $
$ = frac{(sqrt{3} - 1 - i sqrt{3} + i)(2 + sqrt{3})}{2(2 - sqrt{3})(2 + sqrt{3})} = frac{(sqrt{3} - 1 - i sqrt{3} + i)(2 + sqrt{3})}{2} = $
$ = frac{2 sqrt{3} + 3 - 2 - sqrt{3} - 2i sqrt{3} - 3i + 2i + i sqrt{3}}{2} = frac{sqrt{3} + 1 - i sqrt{3} - i}{2} = $
$ = frac{sqrt{3} + 1}{2} - i frac{sqrt{3} + 1}{2}$

$ w_3 = frac{- sqrt{3} - i}{2} \implies frac{z - i}{z + 1} = frac{- sqrt{3} - i}{2} \implies 2z - 2i = (- sqrt{3} - i)(z + 1) \implies $
$ \implies 2z - 2i = - sqrt{3}z - sqrt{3} - iz - i \implies 2z + sqrt{3} z + iz = - sqrt{3} + i \implies $
$ \implies [(2 + sqrt{3}) + i]z = - sqrt{3} + i \implies $
$ \implies z_3 = frac{- sqrt{3} + i}{(2 + sqrt{3}) + i} = frac{(- sqrt{3} + i)[(2 + sqrt{3}) - i]}{[(2 + sqrt{3}) + i][(2 + sqrt{3}) - i]} = frac{(- sqrt{3} + i)[(2 + sqrt{3}) - i]}{4(2 + sqrt{3})} = $
$ = frac{- 2 sqrt{3} - 3 + i sqrt{3} + 2i + i sqrt{3} + 1}{4(2 + sqrt{3})} = frac{- 2 sqrt{3} - 2 + 2i sqrt{3} + 2i}{4(2 + sqrt{3})} = frac{- sqrt{3} - 1 + i sqrt{3} + i}{2(2 + sqrt{3})} = $
$ = frac{(- sqrt{3} - 1 + i sqrt{3} + i)(2 - sqrt{3})}{2(2 + sqrt{3})(2 - sqrt{3})} = frac{(- sqrt{3} - 1 + i sqrt{3} + i)(2 - sqrt{3})}{2} = $
$ = frac{- 2 sqrt{3} + 3 - 2 + sqrt{3} + 2i sqrt{3} - 3i + 2i - i sqrt{3}}{2} = frac{- sqrt{3} + 1 + i sqrt{3} - i}{2} = $
$ = - frac{sqrt{3} - 1}{2} + i frac{sqrt{3} - 1}{2} $

In definitiva le $3$ soluzioni dell'equazione complessa proposta sono le seguenti:

$ z_1 = - 1 + i $
$ z_2 = frac{sqrt{3} + 1}{2} - i frac{sqrt{3} + 1}{2} $
$ z_3 = - frac{sqrt{3} - 1}{2} + i frac{sqrt{3} - 1}{2} $

Le $3$ soluzioni $z_1$, $z_2 $ e $z_3 $ appartengono tutte alla retta bisettrice del II e del IV quadrante $y = - x $